为了解决实际问题、人们必须发明出“零”来，然后要造出负数、有理数、无理数乃至虚数。所谓虚，就是不实，凭空想象出来的意思，不过解代数方程有必要把它请进来，请进来后又觉得它不实在、不太放心。后来它用处很大，能解决非它不可的问题，于是轰也轰不走了。
复数挤进数学王国之后，跟着四元数、八元数、超复数……都来了，它们可没有复数都么大的用处，甚至根本没用。要还是不要呢？这也使数学家处于为难的境地。数学家经常处于这种矛盾的过程中。 “什么是存在？”，这是数学的一个基本问题。什么东西可以挤进数学王国？直觉主义者规定一个较窄的限制：必须能够一步一步构造出来；而形式主义者规定一个较宽的限制：只要没有矛盾就行了。不过什么叫没有矛盾？当然逻辑没有矛盾，其实就是遵守形式逻辑规律。可是形式逻辑是从人类有限经验推出来的，对于无穷情形还灵不灵？这当然存在问题，可是不许推广，那数学还能剩下多少靠得住的东西呢？
在数学史上这种矛盾也是屡见不鲜的。无穷小量刚出现时，漏洞百出、无法自圆其说，可是行之有效、解决问题。所以达朗贝尔说：“前进，你就能恢复信心!”，这可以说是一种实用主义态度。
十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯用极限概念解决了矛盾，同时也扔掉了无穷小，这里无矛盾性占了上风。1961年，罗滨逊发明非标准分析，又把无穷小量请了回来，仍然没有矛盾。不过它是建立在模型论基础上，要承认非可数无穷基数的存在。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好象打开潘朵拉的盒子，一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以回避，数学的确定性却在一步一步丧失。最近莫利斯·克莱因写了一本《数学—确定性的丧失》一书，就是讲的这件事。 现代公理集合论的一大堆公理简直难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑儿消除掉，它们跟整个数学可是血肉相连的。所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续看。矛盾既然是固有的，它的激烈冲突—危机也会给数学带来许多新内容，新认识，有时也带来革命性的变化。
把二十世纪的数学同前整个数学相比，内容不知丰富了多少，认识也不知深入了多少。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论。数理逻辑也兴旺发达，成为数学有机整体的—部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维，代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从未间断。教学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们在同数学中矛盾斗争的产物。
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