结束语
数学素以精确严密的科学著称，可是在数学发展的历史长河中，仍然不断地出现矛盾以及解决矛盾的斗争。从某种意义下讲，数学就是要解决一些问题，问题不过矛盾的一种形式。
有些问题得到了解决，比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和；有些问题至今没有得到解决，如哥德巴赫猜想：任何大偶数都再可以表表示为两个素数之和。我们还很难说这个命题是对还是不对，因为随便给一个偶数，经过有很多次试验总可以得出结论，但是偶数有无穷多个，你穷毕生精力也不会验证完。也许你能碰到到一个很大的偶数，找不到两个素数之和等于它，不过即使这样，你也难以断言这种例外偶数是否有限多个，也就是某一个大偶数之后，上述歌德巴赫猜想成立。这就需要证明，而证明则要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形，没有有限，计算机也是无能为力的。因此看出数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾。只要无穷存在，你就要应付它。这可以说是数学矛盾的根源之一。
在处理出现矛盾的过程中，数学家不可能不进行“创造”，这首先表现在产生新概念上，我们不妨先不管自然数。为了解决实际问题、人们必须发明出“零”来，然后要造出负数、有理数、无理数乃至虚数。所谓虚，就是不实，凭空想象出来的意思，不过解代数方程有必要把它请进来，请进来后又觉得它不实在、不太放心。后来它用处很大，能解决非它不可的问题，于是轰也轰不走了。
复数挤进数学王国之后，跟着四元数、八元数、超复数……都来了，它们可没有复数都么大的用处，甚至根本没用。要还是不要呢？这也使数学家处于为难的境地。数学家经常处于这种矛盾的过程中。
“什么是存在？”，这是数学的一个基本问题。什么东西可以挤进数学王国？直觉主义者规定一个较窄的限制：必须能够一步一步构造出来；而形式主义者规定一个较宽的限制：只要没有矛盾就行了。不过什么叫没有矛盾？当然逻辑没有矛盾，其实就是遵守形式逻辑规律。可是形式逻辑是从人类有限经验推出来的，对于无穷情形还灵不灵？这当然存在问题，可是不许推广，那数学还能剩下多少靠得住的东西呢？ |
