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毕达哥拉斯派与形数

在毕达哥拉斯派看来，数字是点或微粒。他们提到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体。如左下图的五边形数和右下图的六边形数。

虽然历史片断没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛劳斯(philolaus)的论述：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解 ……。”

一. num = △ △ △

1796年7月10日, 数学家高斯在日记中写道：erphka! num = △ △ △ 。这里erphka 是希腊文“发现” 或“找到”的意思，高斯的引用了当年阿基米德发现浮力定理时说的话，可见他兴奋心情。高斯到底发现了什么? 什么使他如此兴奋? 原来他找到了“自然数可表示为三个三角形数之和” 的证明（num 为数的缩写，△表示三角形数）。

据说此前法国数学家费马曾猜测：每个自然数皆可用k个k角形数和表示。对于四角形数的问题, 我们稍后再谈1831年法国数学家柯西在巴黎科学院宣读了他的论文, 论文给出自然数皆可用k个k角形数和表示的证明。

二. 自然数表为四角形数问题

早在公元3世纪前后，数学家丢番图曾猜测自然数皆可用四个四角形数（即完全平方数和）表示。其实， 许多自然数只须用两个完全平方数和便可表示（如5 = 1² 2²， 8 = 2² 2² 等等)，但有些不行（像3，6，7 等等），是费马首先认识到质数（除2之外）皆有4k 1 或4k 3形状，而后他发现了：4k 1 型质数皆可表为两完全平方数和形式(双平方和定理)。

该定理于1754年由数学大师欧拉给出证明（1977年拉森l. c. larson）用图论的方法即“n后问题” 解法亦给出该定理的一个漂亮证明）。

此后勒让德在其所著的“数论”书中又指出：4m（8n 7）型整数必须用四个完全平方数和表示。

自然数表为四个完全平方数和问题曾引起不少人的兴趣, 1621年法国人巴契特（bachet）从1验算到325未发现例外。据称笛卡儿也试图探讨该问题，然而之后他意识到“它实在太难了!”

这个等式是说：能表示成四个完全平方数和的两数之积亦可用四个完全平方数和表示。如此一来, 对于整数表为四平方和问题的研究, 可转化为质数表为四完全平方数和的问题（相对容易了）。

1770年, 数学家拉格朗日依据欧拉的上述发现, 给出了“自然数可表示为四个完全平方数之和” （四平方和定理）的第一个完整证明。

1773年, 已经双目失明的66岁的欧拉, 也给出该结论的另一证明。

大约100年后, 德国数学家雅各比又给出另外一种证法。

顺便指出: 四平方和定理中允许相同数字平方和出现, 如果要求四完全平方数皆相异或互质, 结论将是另一番情形。

图兰首先发现: 自然数表示成两两互质的整数平方和时， 四个则不够（比如8k或6k 5 型自然数便如此）。

鲍赫曼等又发现: 当n ≤ 188 时, 有31个自然数n 不能用四个相异的完全平方数和表示。且他们同时证明了: n > 188 时, n 皆可用五个彼此不同的完全平方数和表示。

四. 华林(e. waring) 问题

人们完成的自然数表为四角形数即完全平方数和问题后, 开始把目光集中到它的推广即自然数用完全立方数、四次方数、五次方数、……和表示问题。

1782年华林在其所着 “代数沉思录”中提出，自然数可用9个完全立方数和、19个四次方数和、……表示, 人称“华林问题”。

为了方便起见我们用g（k） 表示任意自然数可用k次方数和表示的最少个数, 则华林问题便是欲证g（3）=9，g（4）=19 等。

对于g（3）问题，1939年迪克森（l. e. dickson）指出：除23和239（这也是雅谷比开列的自然数表成立方数和表中, 两个须用9个立方数和表示的数）外，自然数皆可表为8个立方数和。

而后，朗道（e. g. h. landau）又指出: 从某个充分大的n 起, 自然数皆可表为7个立方数和（这类充分大的n 的表示问题, 人们又用g（k）表记，如是朗道证明了g（3）= 7）。1909年威弗利茨（a. wieferch）严格证明了g（3）=9。

对于g（4）问题的研究，法国数学家柳维尔（j. liouville）曾证明g(4)≤53。接着他又将自然数n 表为6x r（r=0，1，2，3，4，5）形式。由于任何x 皆可表示四个完全平方数和， 即x=a² b² c² d²，同时a，b，c，d 也有类似表示：a=a21 a22 a23 a24，b=b21 b22 b23 b24， c= c21 c22 c23 c24，d= d21 d22 d23 d24，将它们代入6x=6（a² b² c² d²）再注意到柳维尔的等式知，6x至多只须6×8=48个四次方数和表示。又r = 0，1，2，3，4，5 中至多只须用5个四次方数和表示。如是，n至多只须48 5=53个四次方和表示。

之后, 威弗利茨将g（4）改进到37。

英国数学家哈代又证明：对于充分大的n，g（4）= 19, 即g（4）= 19。

1939年戴维鲍特（davenport）证明了g(4) = 16。

1986年四位美国数学家联手证得g（4）= 19。至此华林问题获解。

对于一般的g（k）问题, 1908年希尔伯特曾证得: 对于任何k 来讲，g（k）均为有限。但对于g（5），g（6），. . .，g（k）等的估计一直不详，仅获局部结果，如陈景润曾证得g（5）= 37 等。