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人们称这类数为完美数。大约是在公元前350-300年期间欧几里得证明了： 若2 n-1是素数，则数2n-1（2n-1）是完全数。他在《几何原本》中就讨论有关寻求某种类型完全数的问题。
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完全数是非常奇特的数，它们有一些特殊性质，如每个完全数都是三角形数。即都能写成：n(n 1)/2
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6=1 2 3=3*4/2
28=1 2=3 4 5 6 7=7*8/2
496=1 2 3 4 …… 31=31*32/2
……
2 n-1(2n-1)=1 2 3 …… (2n-1)=(2n-1)2n/2
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除了6之外它们都是连续奇数的立方和。把它们（6除外）的各位数字相加，直到变成一位数，那么这个一位数一定是1。 |
22（23-1）=28=13 33
24（25-1）=496=13 33 53 73
26（27-1）=8128=13 33 53 73 93 113 133 153
……
2n-1（2n-1）=13 33 53 …… (2(n 1)/2-1)3
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除了因子1之外，每个完全数的所有因子（包括自身）的倒数和等于1。
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1/2 1/3 1/6=1
1/2 1/4 1/7 1/14 1/28=1
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完全数都是以6或8结尾的，如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
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下面是完全数用二进制的表示:
110
11100
111110000
1111111000000……
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数论里有一个著名的函数σ（n），表示自然数n的所有因子之和，包括因子n本身在内。于是利用σ（n）。完全数可以定义为使得σ（n）=2n的数。注意以上谈到的完全数都是偶完全数，至今仍然不知道有没有奇完全数。
17世纪的法国教士马丁·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的
素数称为梅森素数。欧拉证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有这种形式:
2p－1 （2p－1），其中2p－1是素数。
这就在完全数与梅森数之间建立了紧密的联系，到目前为止，共发现了46个梅森素数，这就是说已发现了46个完全数。
下表给出了前18个完全数：
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