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早年在祖父所设的家馆读书，14岁时祖父去世，先后入平阳县学堂和杭州府中学堂（杭州中学前身）学习。1910年6月考取游美学务处备取生，次年9月入美国加利福尼亚州立大学（伯克利）学习数学，1915年毕业，获理学学士学位。同年转入哈佛大学作研究生。在读研究生期间，他于1918年受聘为哈佛大学助教，担任ｗｆ奥斯古德（osgod）教授的助手。1919年姜立夫完成博士论文“非欧几里得空间直线球面变换法”，署名chan－chantso（姜蒋佐），导师是ｊl库利芝（colidge）教授。获得博士学位后不久，其兄去世，他即刻辞去哈佛大学的工作回国料理后事，并担负起抚养和教育遗孤的责任。
1920年，姜立夫应聘到刚成立半年的南开大学任教授（直至1948年），创办数学系（当时称算学系）并兼系主任。1923年，出任中国科学社算学名词审查委员会主席，与胡明复共同负责制定算学名词草案，同年受科学名词审查委员会委托主持审查算学名词。1926年秋赴厦门大学讲学，为期一年。1934年赴德国汉堡大学进修，后转至格廷根大学，历时两年。在此期间，1935年中国数学会成立于上海，被推为该会评议员和数学名词审定委员会委员，同年受聘为中央研究院评议会评议员。1936年10月，姜立夫与胡明复之妹胡芷华在上海结婚。抗日战争期间，他只身随校到昆明，在由北京大学、清华大学和南开大学三校组成的西南联合大学执教，并筹建了“新中国数学会”（任会长）。1940年底，受命筹建中央研究院数学研究所。
抗战胜利后，姜立夫返回上海与家人团聚，并继续中央研究院数学研究所的筹备工作。1946年5月他奉派赴美国进修，6月2日抵美，7月2日入普林斯顿高等研究院开始研究工作，数学所的筹备事宜由陈省身代理。1947年7月研究所正式成立，姜立夫坚辞未获批准，被任命为所长，具体工作仍由陈省身代理主持。1948年6月姜立夫回国，9月当选为中央研究院院士；12月陈省身赴美，姜立夫返所工作。1949年初，中央研究院迁往台湾，2月姜立夫偕家属到台北；7月，他借口向政府汇报工作只身返回广州，随即佯称病急将家属接回大陆，从而以花甲之年为新中国的数学研究与教育事业贡献了全部余生。
中华人民共和国建立前夕，姜立夫于1949年8月应聘到广州的一所教会学校～～岭南大学创办数学系，任系主任。1952年全国高等院校进行院系调整，岭南大学并入筹建中的中山大学，姜立夫担任了中山大学筹备委员会委员和数学系筹备小组成员；1959年起任中山大学第一、二届校务委员会委员；1963年起兼任校学术委员会委员。其间，姜立夫一直担任数学系几何教学的负责人，并从事圆素和球素几何的研究。1966年“文化大革命”开始后，校内教学体系瓦解，姜立夫的身体亦每况愈下，所幸他看到了“文化大革命”的结束。1978年2月3日，姜立夫因心力衰竭逝世于广州。姜夫人及长子姜伯驹遵遗嘱将百余册珍贵图书赠予中山大学。
中国的高等数学教育开始于辛亥革命以后。1912年，京师大学堂改名北京大学，首创数学门，1919年改称数学系，是中国第一个数学系。20年代，高等数学教育逐步进入较为蓬勃的创业时期，国内各主要大学先后建起了数学系。从无到有，开拓者的辛劳与业绩在姜立夫的身上表现得尤为突出。
姜立夫是现代数学在中国最早而最卓有成效的播种人之一。早在1915年他就立志把现代数学移植到中国来，把在国内建立一支现代数学队伍作为自己最根本的任务。1920年，他创办了南开大学数学系（当时称算学系），这是中国第二个数学系。建系之初的4年中，只有他一位教师，他一面处理各种行政事务，一面每学期同时开几门课程，其中包括高等微积分、立体解析几何、投影几何（即射影几何）、复变函数论、高等代数、维空间几何、微分几何、非欧几何等，此外还要承担理学院的公共数学课（初等和高等微积分）。后来他回忆说：“一人包一个系，我感到吃力。”尽管如此，他的课却始终保持着很高的质量。1924年，刘晋年作为南开大学算学系的第一个毕业生留校为助教。1925年，钱宝琮来校任教（到1927年止），姜立夫一人办系的局面才开始改观。但在较长时间里，最主要的数学课程还是由他担任。
姜立夫是一位高明的教师，讲课逻辑严谨，分析周密，深入浅出，引人入胜。他学识渊博，又专攻几何，常能将严格的形式推理与鲜明的几何直观相结合，启发学生深入思考。他曾从德国购置了一整套数学模型教具，以加强学生的形象思维能力。他上课从不照本宣科，详尽的备课，使他的讲解井然有序，配以清晰的、对板面安排乃至粉笔颜色都经过周密设计的板书和图形，能使学生耳目并用，达到最佳效果。他选用的数学符号也经过周详的考虑，系统性很强，便于学生“顾名思义”。姜立夫认为做课外练习是学好数学的重要环节，每堂课后必留习题，并要求学生一律用方格纸做题，以便于绘图和书写清晰，在下一节课上对习题作必要的分析。这种做法尤其使低年级学生养成良好的学风。对于高年级的选修课，他采用多种灵活的教学与考核方式，如根据学生情况分别为他们指定阅读文献，再由学生轮流报告；当没有现成教材时，他每讲完一章常以检查每个学生整理的笔记作为考核。姜立夫以渊博的知识，精彩的讲授，引导一代又一代青年学子步入数学的神圣殿堂。
1926年，经南开大学同意，姜立夫应邀到厦门大学任教一年，并把刚从南开大学毕业的江泽涵带到厦门大学做助教。他对厦门大学寄予厚望，在和朋友交谈中，时常提到如何把厦门大学办成南方的一个教学和科研中心。他为厦门大学算学系制订教学计划，大量购置图书，使该系气象一新。1931年，姜立夫的学生江泽涵在美国获得博士学位后受聘为北京大学教授，当时北京大学数学系教学秩序尚不完善，教师对学生要求不严，教学质量得不到保障。江泽涵是专攻拓扑学的，姜立夫告诫他不能急于求成，“等有了经过严格训练的学生时，你才可以教拓扑学，切不可在沙滩上筑大厦”，还建议他先教低年级课程，随班教至高年级，切实加强基本训练。江泽涵大致按老师的教学模式，从严要求学生，经几年努力，终于在高年级组织起讨论班，展开了数学研究。江泽涵接任数学系主任后，1935年，姜立夫又让从美国留学归来的申又枨到北京大学协助江的工作。对于姜立夫在30年代对北京大学数学系的教学改革所起的作用，江泽涵始终念念不忘。1949年，姜立夫创办了岭南大学数学系，50年代又参与筹办中山大学数学系。每到一处，他都从最基本的建设做起，从教学计划、教学方法、管理制度，到教师的延聘与数学书刊资料的搜集，无一不凝聚着他的心血。
为使教学和研究有必需的资料借鉴，姜立夫始终十分注意数学图书和期刊的选购与积累。在南开大学，他从无到有购置了成套的重要数学期刊和丛书，一些著名数学家的论文集，以及为数不少的绝版图书，其数量之丰与质量之高都是国内少有的。1932年，德国数学家e施佩纳（sperner）到北京大学讲学，当他在南开大学见到这批书刊时也不禁颇为称羡。特别应当指出的是，在国境遭到日本侵略军封锁、外汇又极度缺乏，从而导致科技资料奇缺的那个年代，他为南开大学购置的这些书刊大半运抵昆明，对西南联合大学数学系的教学与科研发挥了极为重要的作用。在厦门大学、岭南大学和中山大学执教时，姜立夫也为数学书刊的订购煞费苦心。按他的学生吴大任的说法，这已经成为姜立夫的一种嗜好。他到岭南大学后的第一件事就是到图书馆整理数学书籍，随后就为学校订购和补齐了许多套重要的数学期刊。在中山大学，他20年如一日为图书馆提供专业咨询。“文化大革命”期间，当美国出版的《数学评论》将遭削减时，他大声疾呼：“停订《数学评论》就等于砍掉数学系！”由于他的坚持，终于使中山大学完整无缺地保有了这套重要的数学信息杂志。
姜立夫积极主张数学的国际交流，除鼓励学生出国留学、翻译国外优秀数学图书外，还力促邀请外国数学家来华讲学。在他的推动下，30年代北京大学接连聘请德国数学家ｗ布拉施克（blaschke）、施佩纳、美国数学家奥斯古德到校讲学，导致后来陈省身、吴大任、张禾瑞等先后留学德国，对中国现代数学的发展产生了深远影响。1947年，中央研究院与教育部欲合聘著名数学家ｈ外尔（weyl）来华讲学，当时姜立夫在美国曾极力促成此事，惜后来因其他变故未能成行。
姜立夫的辛勤耕耘，结出了丰硕的成果。仅在他早年的学生中就出现了刘晋年、江泽涵、申又枨、吴太任、陈省身、孙本旺等优秀数学家。作为中国现代高等数学教育事业的重要开拓者，姜立夫的功绩是不可磨灭的。
中国数学历史悠久，数学词汇自成体系，但基本上限于初等数学范围，以现代观点看也不够完备。17世纪初，西方初等数学传入中国，19世纪中叶以后，高等数学也较为系统的传入。在此期间，徐光启（1562～1633）、李之藻（1565～1630）、李善兰（1811～1882）、华蘅芳（1833～1902）等中国数学家为创设一套准确、恰当的数学译名做出了重要贡献。
清末民初，渐有以数学为专业的留学生回国。1918年，胡明复的博士论文《具有边界条件的线性积分～微分方程》发表于《美国数学会会刊》，标志着中国数学开始汇入现代数学的洪流。随着学成归来的留学生逐渐增多，许多现代数学内容与分支被介绍到中国。由于时代的变迁与数学的发展，一些旧译名已显得不够妥当，且原有译名在数量及范围上早已不敷于用。此外，由于“译界不相联络，所译名词，人各不同”（蔡元培，《医学名词汇编》序，1931年），使现代数学的准确理解与有效传播面临着极大的困难，制订一套准确而统一的中国现代数学词汇已成为十分迫切的任务。姜立夫与胡明复共同领导了这项意义深远的工作。
1918年，以原医学名词审查会为基础，由教育部及各学术团体派代表参加，成立了科学名词审查会，领导与组织科学词汇的审定。1923年7月，科学名词审查会开始审查数学名词。在此之前，推定中国科学社提出名词草案，该社则委托姜立夫与胡明复起草。第一次审查本包括普通名词、算术与数论、代数学、微积分学、函数论等方面的词汇，刊有单行本，其中所列审查员名单有姜立夫（主席）、何鲁（书记）、胡明复、段调元、段育华、顾珊臣、周剑虎、吴广涵、胡敦复、吴在渊等。编者在其“例言”中指出，这些数学词汇的确定，是“以‘意义准确’，‘避歧义’与‘有系统’为原则；以旧译名与日名（指日本数学名词～～本文作者注）为根据。凡旧译与日名之能合上之原则者，择一用之；其不合者，酌改或重拟”（转引自《算学名词汇编》，科学名词审查会编印，1938年）。本着上述原则，姜立夫与胡明复为制定词汇草案做了大量艰苦细致的工作，不仅对所收入的7000多数学词汇全部给出中英文对照，而且尽可能同时给出相应的法文、德文和日文。草案选用词汇广泛而不生僻，博取古籍和各国之长而自成体系，其审定原则也颇为精当，“例言”中特别举例说明这些原则：“‘虚’，‘实’，‘复’，‘整’，‘分’，‘常’，‘变’，‘全’，‘偏’等字，类皆有专用之义，他处均避之。”“‘次’，‘级’二字，又‘叙列’，‘级数’，‘连级数’三名词，世多混用，即西文原名亦然。今特分别指定，不予通融。”“‘无限’，‘无穷’，‘无尽’三字用法各异。如此之例尚多，不具举。”由于他们的工作极为审慎、周密，所选用和拟订的词汇大都十分准确。
科学名词审查会和中国科学社对上述数学词汇的审查持续了8年之久，分4次审查完毕（1923年7月，1924年7月，1925年7月，1931年7月）。每次审查前先将相应部分编印成册，通过审查后则陆续发表在中国科学社主办的《科学》杂志上。1927年6月，胡明复不幸溺水逝世，以后的起草工作就由姜立夫完成。为了便于整理和进一步修订，他将全部词汇制成卡片，可惜由于人力不足，补齐法、德、日文词汇的愿望始终未能实现。
1931年全部数学词汇审查完毕，1938年以科学名词审查会的名义正式出版，定名为《算学名词汇编》。这是中国第一部现代数学词汇。曹惠群在为该书所作的序言中提到，书成之后，原拟请姜立夫作序，但他谦逊固辞。这部数学词汇虽然只限于纯粹数学方面最基本的内容，却已构成今日整个数学词汇的基础。1938年以后的20余年间，数学词汇曾几度补充修订，姜立夫都是重要的参与者。
蔡元培在《医学名词汇编》序言中曾写道：“科学愈精深，名词愈繁复。吾国研治科学稍后，势须畅外释籍以为基础；惜译界不相联络，所译名词，人各不同。整齐而划一之，其功至矩。……盖以纷纭庞杂之各科学名词，欲使之同条共贯，引用便利，绝非一手足一朝夕之事……”中国现代数学词汇体系的确立，“其功至矩”，姜立夫为之倾注了大量心血，无愧为其主要奠基人之一。
数学事业鞠躬尽瘁
姜立夫为人豁达敦厚，凡事以发展中国的数学事业为重，不辞辛劳，不计个人名利，不遗余力地造就和提携数学人才，深为学界所称道。他不仅对自己的学生倾心培养，对并无师生关系的后起之秀，同样尽可能地提供帮助，1947年，中央研究院选举院士，陈省身在“中央研究院数理组院士候选人提名表”中对姜立夫作了如下评价：“提携后进，不遗余力，国内知名筹（按：应为畴）人，多出其门。”多年之后，他又在《立夫师在昆明》一文中说：“姜先生知识广博，见事清楚，律己严格，足为后学者的模范。记得胡适曾有一文说姜先生是当代的圣人（他列举的人中还有一位是张元济先生），我十分同意。”
20年代末，苏步青在日本东北帝国大学读研究生时，曾用英文名发表了几篇论文，姜立夫读后知道作者是中国的有为青年学者，便向厦门大学、北京大学、燕京大学和清华大学推荐，其时他们二人并不认识。当苏步青决定去浙江大学时，姜立夫也已收到浙江大学聘书，连教材都已备好，但为了让苏步青充分发挥作用，他毅然辞去了浙江大学的聘任。后来两人相遇，苏步青知道了其中原委，不禁深为感动。
为使中国数学尽快进入世界数学主流，姜立夫总是想方设法支持青年学者出国进修或访问，其中尤以促成华罗庚出访苏联、美国一事最为人称许。40年代苏联是解析数论的一个研究中心。1944年华罗庚计划赴苏联考察，但时局艰难，经费无着。为此，姜立夫多次致函中央研究院院长朱家骅和中央研究院总办事处，反复申明华罗庚数学工作的重要性及派其出访的必要性，他在函中指出，“华君天才卓越，成绩斐然”（致朱家骅的信，1944年10月19日），“近年由堆垒数论，一转而入自守函数，再转而入方阵几何，湛思积悟，创获更多，无如战时交通梗阻，国内工具缺乏，深以闭门造车、事倍功半为苦。……鄙意拟请先生特别设法，派遣华君赴苏考察一年，庶使华君研究工作得以顺利进行，本处筹备设施亦得多所取法。是华君个人之幸，亦即国家学术之幸”（致朱家骅的信，1944年11月11日）。其后，因苏联方面长期拖延，姜立夫又转而推荐华罗庚改派赴美。在他的积极努力下，华罗庚最终于1946年先后赴苏、美访问。
在姜立夫一生的业绩中，对中国现代数学事业影响最深远的，当推中央研究院数学研究所的筹建。
中央研究院成立于1928年，因国内现代数学研究基础薄弱，当时未能成立数学研究所。其后，由于冯祖荀、姜立夫、郑之蕃、熊庆来、陈建功、苏步青、江泽涵等数学家的艰苦创业，以各大学数学系为基地，研究队伍初步形成，新生力量逐渐崛起。到30年代中后期，一些研究领域已为国际数学界所瞩目。1940年底，中央研究院拟增设数学研究所，聘姜立夫为筹备处主任。当时他患病已久，“十二指肠内有疮，年来时发时愈，医生谆嘱节食静养，教课之外，不许旁鹜”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。但是，为了现代数学在中国的发展，他毅然受此重任。1941年3月，经中央研究院评议会通过，数学研究所筹备处在昆明成立，姜立夫满腔热情地投入了筹建工作。
数学所筹建之初，正值抗日战争最艰苦的年代。姜立夫眼前的局面是：国内研究力量依然不足，较有声望又具研究能力的学者均被各大学倚为柱石，难以延聘；连年战争，国力衰竭，缺少研究经费，购置外文资料所急需的外汇更是难以筹措；资料奇缺，为研究工作所必备的外文数学期刊在国内已断档数年，因国境遭日本侵略军封锁而难以运入。姜立夫认为：“算所工作之目标，在求学术上有价值之贡献，冀可提高我国之国际地位，余事均属次要”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。为实现这一目标，在接受筹建任务之初，他对数学所研究人员的延聘、研究工作的开展、图书资料的积累、经费的筹措、机构的建设乃至所址的选取等问题进行了周密的思考与论证，并马上以极大的精力着手克服面临的困难。陈省身先生在《立夫师在昆明》一文中指出：在数学所的筹备过程中，姜立夫“洞鉴了当时中国数学界的情形，只求切实工作，未尝躁进，树立了模范”。
姜立夫深知图书资料对开展数学研究的重要性，在数学所筹备之初，他对此就反复加以强调，并尽一切努力进行积累。他指出：“算学研究首赖图书，国内各大学各图书馆对此项设备瞠乎人后，间有留心采访略具胚芽者，抗战以来，复受摧残，故本所筹备处之首要任务在于搜买欧美各国之专门期刊与专家著述。”1941年初，中央研究院总干事傅斯年曾建议，评议会通过增设数学所的决议之后，该所即为正式成立。姜立夫则认为：“设所不能无屋，有屋不能无书。在他科犹有国内出版之零星著译、调查报告，可填书架，算学并此无有。需要最切之新出期刊，在现时国内各大学各图书馆亦俱残阙不齐，逾期未到。苟非自备，且亦无从借贷。闭门造车，非不可为，斧凿不备，谁尸其咎。值此时局非常，谈不到‘规模’，然亦不可仅租空屋数椽，便请研究员到所工作。故正式成立之期，至早须在第一批书籍收到之后，此点对于所之前途，关系甚大，敬求先生谅解，重加考虑，不胜感幸。”这一看法得到了傅斯年、继任总干事叶企孙、院长朱家骅的赞同。由于经费短缺和日本侵略军的封锁，姜立夫只好把必购图书期刊减少到最低限度，同时充分利用西南联合大学所集中的南开大学、清华大学、北京大学三校图书。对于最急需的书刊，他曾希望部分航空、部分取道缅甸、印度运入，但因战局变化，这些图书直到1946年才陆续运抵，使他屡屡引为憾事。
对于数学所组织机构的建设乃至所址的选择，姜立夫都曾详加考虑，并注意吸取中央研究院各所与各国数学所的办所经验。1940年底，他在1940年12月25日致傅斯年的一封信中写道：“关于经费。……立对于此等事，素不关心，全无经验，但院内现有各所之经费支配情形，必多可资借镜者，尚望先生详以教我。”“先生办理历史语言研究所多年，成绩昭彰，经验丰富，务希惠加指示，俾得有所遵循。全院规程、各所组织以及关于人事、经费种种报告，亦希检寄全份，以备参考。”“算学研究所之设立，在他国大都附属于大学之内，其单独设所最有成绩者，当推美国之instiｔuteforadvancedstudy，然亦与princetonuniversity合作，盖一方面可以调剂研究员之生活兴趣，一方面又与优秀青年不致失去联络，易收切磋观摩之效。”1944年，华罗庚欲赴苏联考察和进修，姜立夫全力支持，并提出：“……苏联科学近年突飞猛进，对于研究机关之组织，研究人才之培养，处处可供吾人借镜。华君若于此时成行，不但在研究工作上可得许多方便，对于本院数学所之发展前途，裨益亦正不少。”（姜立夫，致朱家骅的信，1944年10月19日）
对研究人员的延聘与研究工作的开展，姜立夫用心良苦。一方面，为了完成高水平的研究工作，“对于研究员之延聘，宜特别注重研究能力，宁缺勿滥”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。另一方面，由于“国内算学人才最感缺乏，大学师资今尚不敷分配”（姜立夫，致傅斯年的信，1941年2月25日），因而提出了一系列协调办法。对于各大学所倚重的优秀数学家，“如浙大之苏步青，联大之江泽涵、陈省身、华罗庚诸先生，皆当尽先罗致，能专任研究固佳，否则似可商同原校分期合聘”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日），对于欲专聘的研究人员，“为合作或参考之便利，或可准其在规定时间内分赴适当之大学，从事研究或讲演，必使全国提倡算学研究之机关与从事算学研究之学者，互通声气，交受其益”（姜立夫，致傅斯年的信，1941年2月25日）。“绝对尊重研究成绩”（国立中央研究院数学研究所筹备处工作报告，1942年3月）和“与各大学打成一片，而非与各大学争才”（姜立夫，致朱家骅的信，1946年3月5日）。这是姜立夫在选聘人员时始终遵循的原则。这种从全局出发、由长远利益着眼的精神，对数学研究所的发展与国内数学人才的培植都起到了积极作用。本着这一精神，19411943年，数学研究所筹备处延骋了6位兼任研究员，他们是苏步青、陈建功、江泽涵、陈省身、华罗庚、姜立夫；完成论文41篇，其中大半已为国外10余种数学杂志所发表或接受发表。姜立夫满意地指出：“数学所虽未成立，已有成熟之作品与国际数学界相周旋。遭时多艰，有此表现，前途未可限量。”（国立中央研究院数学研究所筹备处工作报告，1941～1943年）1944年又延聘许宝騄、李华宗为兼任研究员。在这一年度，8位兼任研究员共完成论文30篇，“对于所研究之问题，俱能创立崭新之方法，探得珍贵之结果”（国立中央研究院数学研究所筹备处工作报告，1944年3月～1945年2月）。在下一年度，上述8人又完成论文21篇。1947年7月，中央研究院数学研究所在上海正式成立。到1948年，国内最优秀的数学家，或专任、或兼任，已尽可能延聘到所，除以上8人外，尚有王福春（1947年9月病故）、樊、段学复、周炜良、胡世桢、王宪钟等，共在国内外（主要在国外）各主要数学刊物上发表了近200篇学术论文，有计划地在数论、群论、级数论、自守函数、多元空间、矩阵几何、曲线论、微分几何、拓扑学、数理统计等研究领域展开了研究，一些领域已处于世界先进水平，以国内原有的研究基础和力量而论，这实在是了不起的成就。
学术研究
姜立夫的学术生涯开始于综合几何的研究。1919年5月，他在美国数学家ｊl库利芝（colidge，1873～1954）指导下完成了博士论文《非欧几里得直线球面变换法》，用代数方法和微分几何方法讨论了射影空间的直线与非欧空间的球面之间的一种一一对应关系，获得了丰富的结果。
从40年代起，姜立夫的研究课题主要是圆素与球素几何学，逐步整理出一套以二阶对称方阵作为圆的坐标，以二阶埃尔米特（heｒmite）方阵作为球的坐标的新方法。他在《科学记录》（1945）上发表的论文《圆和球的矩阵理论》就是对这一阶段研究成果的总结。从1946年7月开始，姜立夫在美国普林斯顿高等研究院继续研究这一课题，“利用国内尚未经见之图书，整理多年不愿发表之积稿”（姜立夫，致朱家骅的信，1947年2月14日）。1948年秋，他还在南开大学作了几次有关这一课题的学术报告。
50年代以后，姜立夫以较多精力整理并发展他创建的圆素与球素几何的矩阵理论。1954年，他在中山大学科学讨论会上作了题为《关于圆素几何的新面貌》的报告。他用二阶对称方阵代表平面上的拉盖尔（laguerre）圆（即有向圆和点圆），用二阶埃尔米特（heｒmite）方阵代表空间的拉盖尔球（即有向球和点球），再用相应的2×4矩阵作为李（lie）圆（即拉盖尔圆和有向直线以及无穷远点圆）和李球（即拉盖尔球和有向平面以及无穷远点球）的齐次坐标，于是对应于点素平面和点素空间的射影群、仿射群和欧氏群，就有圆素平面和球素空间的辛变换群及其相应的子群。这样，经典圆素与球素几何就获得新的面貌，并有新的发展前景。对于这一课题，在他的遗稿中有一个长远计划：
第一阶段：对称方阵与埃尔米特方阵（圆与球，超圆与超球），辛群变换论（麦比乌斯（mobius）群，拉盖尔群，李群），用方阵代数来研讨辛群几何学。
第二阶段：辛群曲线与曲面论等（圆列、圆汇、球列、球汇、球丛），用活动标架法来发展辛群几何学（伪欧氏空间的微分几何）。
第三阶段：辛群联络空间（麦比乌斯联络空间，拉盖尔联络空间，李联络空间）。用外微分法来推广黎曼（riemann）几何学与非黎曼几何学。
这个计划的目标不仅在于改造经典的圆素与球素几何学，使之具有新的形式，还在于运用现代方法去发展它，使之与现代几何合流。应该指出，姜立夫很早就注意到圆素与球素几何与物理学和近代数学其他分支的密切关系，因而上述改造和发展都以实际对象为基础，不追求过分抽象的推广。这体现了他一贯务实的治学精神。
姜立夫晚年治学不倦，指导他的学生得到了属于第一、第二阶段计划中的一些结果。随着“文化大革命”的到来，这一有价值的研究工作被迫中断。近年来他的学生们又在这一领域获得了许多新的结果。
在筹建中央研究院数学所的过程中，姜立夫由全局利益出发，不计个人得失，让贤陈省身，更是学界一段佳话。中央研究院在酝酿建所时，早已议定姜立夫为将来的所长。1941年2月17日，时任中央研究院总干事的傅斯年在致姜立夫的信中写道：“此学为一切科学之本，本院成立15年，尚于此无所尽力，以难得其人故也。全蒙先生不弃，实本院之荣幸，欣喜无极。将来此所成立，自非先生主持无以成丰长之进步，此节请万勿谦抑，今即作为定论也。”据“中央研究院第二届评议会第一次年会纪录”（1941年3月13～15日）载：“本院增设数学研究所，请姜立夫先生任所长。”姜立夫则另有考虑，在受命任筹备处主任之前即说明：“至于筹备处主任一节，则系临时性质，既承雅命，义不容辞，自当竭蹶从事，勉襄盛举”，至于“所长之职，于立（按：姜立夫自称）实不相宜”（致傅斯年的信，1940年12月25日）。他还恳切地说明了理由：自己身体不好，难以专心学术，且不谙行政，又为南开大学所倚重，不忍贸然离去。1947年，数学所筹备工作基本就绪，已为之付出多年努力的姜立夫从美国致函中央研究院院长朱家骅（1947年2月14日），郑重提议：“请任命陈省身先生为第一任所长。忆立受命之始，早经声明不为所长。……代理主任陈省身志趣纯洁，干练有为，与全院新旧同人相处融洽，其学业成就尤为超卓，所发表之论文能以少许胜人多许，所研究之问题极为重要，所得之结果饶有价值，不但美国数学家一致推重，所见欧陆当世大师亦复交口称许。本院数学所长之选，宜推省身第一。况研究所初告成立，需要创造之精神，需要推动之力量，是皆立之所短，而为省身所长，故请毅然加以任命，以利所务之进行。”朱家骅立即复函（1947年3月6日）称：“所长一席，非兄莫属，万祈切勿谦让。成立时决发表先生为所长，并同时发表陈省身先生为代理所长，在台端未返国以前，即由彼代理。”这段往事屡为前辈数学家提及，但多语焉不详，有关细节是在80年代末查阅档案时才发现的。如今重读姜立夫的肺腑之言，愈见其胸襟坦荡，远见卓识。
姜立夫一生淡泊名利，廉洁自守。中央研究院数学研究所筹备之初，他毅然退回了丰厚的筹备处主任薪金，并建议“主任与秘书均定为不支薪之名誉职，其余事务员等一切从简，所省经费全为购书之用”（致傅斯年的信，1941年2月25日）。据陈省身回忆，筹备期间，研究人员均为兼任，均不支薪。从筹备之初到建所之后，专职行政人员始终只有一位管理员。1946年5月，姜立夫奉派赴美国进修。在回顾几年来的筹备工作时他说：“自受筹备之命，迄立出国之日，为时五年，国境方被封锁，无法打破，现实蹉跎岁月，深惭无功。惟是五年之中，未尝浪费一钱、滥用一人，幸亦得免于罪。”（致朱家骅的信，1947年2月14日）1950年，他还向中国科学院移交了中央研究院数学所的一笔鲜为人知的外汇余款。
由于长期从事中国数学教育与研究事业的开创和领导工作，姜立夫长期搁置了自己的学术研究。早在1926年在厦门大学执教时，他就曾对当时在身边做助教的江泽涵说：“前此数年，我把全部精力用来教书、教学生，此后我也要继续研究，教自己了。”但是，在以后漫长的半个世纪中，他始终是教人先于“教己”。在中山大学时，他年事已高，但晚上为学生补课却风雨无阻。1955年冬在一次讲课中他因心肌梗塞而晕倒，从此学校不再安排他课堂教学，但他很快就在家里挂起黑板，组织讨论班，与中青年教师、研究生和进修教师一起，边读书边研究，还从事数学图书的翻译，直至“文化大革命”开始。
纵观姜立夫的一生，虽学术著作不多，但他为中国现代数学事业所作出的广泛而卓越的贡献，将会永留史册。
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