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苹果树下散步讨论问题结出的果实
希尔伯特他们三人都对数学有浓厚的兴趣，每天下午“准5点”都会在校园旁边的苹果树下相聚，边散步边讨论数学问题。有时他们也会争得面红耳赤。一天曾有一位访问学者偶然经过这里，听到有争吵声，他驻足观看发现有三位年轻人正在激烈地争论着数学问题，并没有注意有其他人路过这里。 后来希尔伯特回忆这段生活时说，“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换我们对问题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划。”他们三人中，赫维茨有着广泛坚实的基础知识，又经过很好的整理，所以他是理所当然的带头人，并使其他两位心悦诚服。希尔伯特发现这种学习方法比钻在昏暗的教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍。这种例行的散步一直持续了整整八年半之久，他们以这种悠然有趣的学习方式探索了数学的“每一个角落”，并思考着数学未来的发展。希尔伯特后来回忆道：“那时从没有想到我们竟会把自己带到那么远！”三个人就这样“结成了终身的友谊”。
其实这就是希尔伯特之所以能够在1900年提出23个数学问题背后的故事，这些问题都是他们在散步时讨论过的，希尔伯特把他们的讨论的内容又做了深入的思考和整理。 苹果树下的散步结出了丰硕的成果。
理性的洞察力
希尔伯特的一生都充满了理性的精神。在柯尼斯堡市政会授予他“荣誉市民”称号的仪式上，希尔伯特作了“认识自然和逻辑”的著名演说。他从宣布“认识自然和生命是我们的最高任务”的论题开始，论及到自然客体、经验事实、逻辑思维、理论表述在人类认识自然中的地位和作用，人类认识自然的途径、机制和法则，以及数学在认识自然中的地位。希尔伯特的演说，充满着哲理，闪烁着理性地看待自然的光辉，引人入胜，感染着众多的听众。
希尔伯特在数学研究中的理性精神，充分表现在他对“数学问题”在数学研究活动中的作用和地位的认识上。历史上众多的数学家整天忙于解决数学问题，但常常对数学问题本身的认识论问题缺乏反思。1888年希尔伯特成功地解决了代数不变量中的“哥尔丹问题”，1898年又成功地解决了变分法中的“狄利克雷原理问题”。这两个问题都是当时著名的数学难题，它们的解决对数学这两个分支领域的发展起了积极的作用。
希尔伯特切身地体验到：重大的个别问题是数学的活的血液；单个重大问题的解决，其意义远远超出了问题的本身。接着，他对数学问题的一般认识论意义进行了深刻的反思。1900年他被特邀在巴黎第二届国际数学家大会上作了“数学问题”的演说。在这篇著名的演说中，他论述了“数学问题对数学发展的推动作用”，论述了“数学问题产生的源泉”，论述了“解答数学问题的一般要求和途径”等认识论和方法论问题。
接着，他在总结19世纪数学研究成果和发展趋势的基础上，在世纪之交向全世界的数学家们提出了“二十三个数学问题”，他认为这些问题可能是20世纪数学领域中最活跃、最关键、最有影响的课题。20世纪以来数学发展的历史表明，这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，引起了数学界持久的关注，对20世纪数学发展的确起了重要的指导作用。不管哪位数学家，若能解决其中一个问题，就能在数学家共同体内获得一个荣誉地位。
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