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六十年代，他从事哥德巴赫猜想的研究，首先确定出命题（1 c）中常数c的具体数值，证明了命题（1 5）和（1 4），两次在这一著名世界难题研究中居于国际领先地位，也是作为中国冲击哥德巴赫猜想接力赛的第三棒。
七十年代，他在简化陈氏定理（1 2）时提出并证明了一条新的均值定理，该定理成为“筛法”应用中的一个重要工具，为国内外同行广泛引用。由于以上工作，他与陈景润、王元一起共同获得了国家自然科学一等奖。
八十年代以后他致力于哥德巴赫猜想的最终解决，他所提出的研究"猜想"的新途径，完全不同于经典的"圆法"，其崭新的学术思想为国际数论界所关注。
20世纪50年代前后是近代解析数论的一个重要发展时期，为了研究数论中的著名猜想，一些重要的新的解析方法，如大筛法、黎曼函数与狄利克雷l函数的零点分布、塞尔伯格筛法等，相继提出，成为当时解析数论界研究的中心。闵嗣鹤教授极有远见地为潘承洞确定了研究方向：狄利克雷l函数的零点分布，及其在著名数论问题中的应用。
在学习期间，他还有幸参加了华罗庚教授在中国科学院数学研究所主持的哥德巴赫猜想讨论班，并与陈景润、王元等一起讨论，互相学习和启发。在闵嗣鹤教授的指导下，潘承洞在解析数论的基础理论和研究方法上打下了坚实的基础。1961年3月研究生毕业后，他被分配到山东大学数学系任助教。刚到山东大学的最初几年里，潘承洞对于解析数论研究的执著就得到了淋漓尽致的表现，在不到一年的时间里，他就自己的研究心得与中国科学院数学研究所的王元竟通信六十多次！而同一时期他与未婚妻李淑英仅通了两封信。往往因为一个问题，双方在信上你来我往几个回合。在学术上的争论更加深了他们之间的友谊，这种真挚的友谊一直延续下来，成为数论界的一段佳话。
在北京大学就读研究生期间，潘承洞完成的主要论文有“论算术级数中的最小素数”和“堆垒素数论中的一些新结果”。其中前一篇将算术级数中最小素数问题的研究归结为与狄利克雷l-函数有关的三个常数的估计，为这一问题的研究建立了基本的框架。
到山东大学后的几年中，他着重研究了位列解析数论中最著名难题之一的哥德巴赫问题，证明了命题{1，5}，即每一个充分大的偶数都可以表成一个素数与一个素因子个数不超过5的奇数之和。这是对当时哥德巴赫猜想研究所进的一大步，是一个出人意料的重大进展。因为在这之前的最好结果是兰恩易（rényi）所证明的命题{1，η}，其中η是由兰恩易方法只能证明其存在性，但不能确定具体数值的常数。如果按照兰恩易的方法来计算η的数值，只能得到一个天文数字。
潘承洞的工作是建立在他本人对算术级数中素数分布均值定理的改进上，后来邦别里（e.
bombieri）由于对这一定理的进一步改进（即邦别里-维诺格拉多夫定理）获得菲尔兹奖。对此，后来的数论学家福利（e. fouvry）和伊万尼斯（h. iwaniec）曾评论道：“邦别里-维诺格拉多夫定理是在林尼克（linnik）、兰恩易、潘承洞、巴邦（barban）等人开创性工作的基础上得到的。”这一时期他还在广义解析函数论及其在薄壳上的应用、数论在近似分析中的应用等方面做了许多有价值的工作。
1966年开始的“文化大革命”，严重地搅乱了科学研究，尤其是基础理论研究的正常秩序。这使得潘承洞无法再正常进行他的解析数论研究工作。出于当时的形势要求，潘承洞从纯理论的研究转向数学一些应用领域的研究，例如样条函数理论、滤波分析等。他在样条函数上的工作至今仍经常被这一领域的研究者所引用。 1973年陈景润关于哥德巴赫猜想的著名论文发表后，潘承洞又开始了解析数论研究。他提出并证明了一类新的有关算术级数素数分布均值定理，它是邦别里-维诺格拉多夫定理的重要推广与发展，能容易的解决后者所不能直接克服的困难。利用这一新的均值定理不仅给出了陈景润定理-命题{1，2}的最简单证明，成为以后研究哥德巴赫猜想型问题的基础，而且在不少著名解析数论问题中有重要应用，特别是1983年黑斯-布朗在关于原根的阿廷（artin）猜想的论文中应用它，得到了重要结果。根据这一均值定理，潘承洞给出了陈景润定理的一个简化证明，此证明被公认为全世界五个陈氏定理简化证明中最好的一个。
1979年7月，在英国durham举行的国际解析数论会议上，潘承洞应邀以此为题作了一小时的报告，受到与会者的高度评价。 1982年
，潘承洞发表了论文“研究哥德巴赫猜想的一个新尝试”，提出了与已有研究截然不同的方法，对哥德巴赫猜想作了有益的探索。他还与陈景润合作，得到了哥德巴赫数例外集合估计的一个重要结果。 1988年，理歇特（h.e.richert）在纪念华罗庚国际数论与分析会议上发表的综述性论文中，把邦别里-维诺格拉多夫定理，陈景润定理，以及潘承洞的新均值定理称为这一领域的三项最重要的结果。 在三十多年的研究历程中，潘承洞在国内外重要学术刊物上发表论文50多篇。论文“大偶数理论”于1978年获得全国科学大会奖；“均值定理与哥德巴赫猜想”获山东省科委一等奖；1982年，他由于在哥德巴赫猜想上的研究成果与王元、陈景润共同获得国家自然科学一等奖。在国际数论界，人们把他与华罗庚、王元、陈景润并称为中国数论学派的代表人物。
潘承洞在攻克“哥德巴赫猜想”的世界接力赛在中国赛区的第三棒中，发挥了重要的作用，取得了非常好的成绩，也为后面的研究奠定了基础。 1981年科学出版社出版了潘承洞与潘承彪合著的《哥德巴赫猜想》, 对猜想的研究历史、主要研究方法及研究成果作了系统的介绍与有价值的总结，得到了国内外数学界的一致好评。国际上两大权威数学评论都认为：“这是一部很有价值的专著”，“不仅对中国从事解析数论的数学家会有重要影响，若成功地译成英文，将使西方世界同样受益”。王元教授称该书“绝非材料的简单堆积，而是对过去研究成果的创造性总结”。1992年，科学出版社又出版了该书的英文版。潘承洞还与潘承彪合著了《素数定理的初等证明》(1988)，亲自撰写了科普读物《素数分布与哥德巴赫猜想》(1979)。这些著作对我国数论的研究、教学和人才培养起到了很好的作用。
潘承洞讲课的一个特点是风趣幽默、引人入胜，常常把一个原本枯燥的内容描绘得趣味盎然；另一个特点是粗线条的讲授，不在细枝末节上用太多的语言，而着重讲清问题的来龙去脉和其中蕴含的思想，对理论体系的发展、方法、结果加以分析，高屋建瓴，独辟蹊径。 |
