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这种观点是基于将数论看作是数学不可分割的一部分，甚至是拉动数学发展的重要内部动力。数论绝不是一个个孤立问题的总和，或者说，不是仅从整数的定义出发就可以研究数论的。

按照这样的要求，非常重要的数论问题就比较少了。众所周知的黎曼(riemann)猜想就是一例，它不仅是数论而且也是数学中最重要的问题，这是因为众多有用问题的解决需要依赖于黎曼猜想的解决。哥德巴赫（goldbach）猜想与费马(fermat)猜想也是非常重要的。

这两个问题本身都没有什么意思，但对它们的研究导致了非常重要的数学发展。设想一下，如果这两个问题真的只从整数的定义出发，或仅用一、两个特殊技巧即能证明，那么，它们恐怕最多只能算是漂亮的习题，会使数学家失望的。

费马猜想已由怀尔斯(wiles)于上世纪末证明了。在其证明过程中，用到了模形式理论、椭圆曲线理论及伽罗华（galois）表示理论等，换言之，这是集二十世纪数学理论大成的重大成就。

至于费马猜想的研究对代数数论的形成与发展所起的推动作用都是众所周知的。另外，还有一些古老的数论问题，如梅森（mersenne）素数问题，即形如

m _n= 2 ⁿ -1

的素数是否有无穷多？或费马素数问题，即形如'

f_n= 2 ² 1

的素数是否有无穷多？目前由计算机找到的特大素数都是梅森素数。无论如何，我认为这类问题虽然很有名，但它们与数学的主要工具与理论尚无关系，至少在现在只能看作是智力挑战性质的问题，还不能作为重要的数论问题。

二、哥德巴赫猜想与费马猜想

哥德巴赫猜想起源于1742年哥德巴赫给欧拉(euler)的一封信。用略为修改过的语言，可以将它表述为：

（g） 每一个 6的偶数都是两个奇素数之和；

（g' ）每一个 9的奇数都是三个奇素数之和。

命题（g' ）是命题（g）的推论。

事实上，若m为>=9的奇数，则n-3为>=6的偶数，如果（g）成立，则n-3=p₁ p₂ ，此处p₁与p₂均为奇素数，所以，

n=3 p₁ p₂ ，即（g' ）成立。因此，命题（g）是最根本的。

猜想（g' ）已由维诺格拉多夫（vinogradov）于1937年基本上解决了，他证明了对于充分大的奇数，猜想（g' ）成立。

1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特(hilbert)在他的著名演讲中，首先阐明了一个好的数学问题，作为数学研究的对象与源泉，对于推动数学的发展是何等重要！他特别地以费马猜想为例来加以说明。为此，希尔伯特向二十世纪的数学家提出了二十三个问题，历史已经充分证明了这些问题的重要性。

希尔伯特高瞻远瞩，预见到黎曼猜想与哥德巴赫猜想的重要性，将这两个问题合起来构成了他的第八问题。他还将后者推广为两个素数变数的一次方程的求解问题：命a , b, c为给定的整数，求方程

ap bq=c

的素数解p,q 。

取a=b=1 ，c为>= 6的偶数，即得哥德巴赫猜想（g） 。又若取a=1 ，b=-1 及c=2 ，则得，

（a₁ ）...............................................................p-q=2 ，

这对应于数论中著名的孪生素数猜想，即适合于（a₁ ）的素数对（q，p ）有无穷多。再若取a=2，b=-1，c=-1 即得

（a₂ ）...............................................................q=2p 1，

问题为要证明素数对（p，2p 1）有无穷多。适合（a₂ ）的这种素数q 称为热尔曼（germain）素数。

我们不妨将希尔伯特提升后的二元一次方程求素数解的问题统称为哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想与费马猜想有什么关系呢？

当n=4 时，费马猜想的证明可以由费马的所谓逐次递降法直接得出。从而当4| n即n=4m 时，费马方程

xⁿ yⁿ-zⁿ=(x^m)⁴ (y^m)⁴-(z^m)⁴⁼⁰

没有非寻常解，所谓寻常解为x,y,z 中有一个为零之解。因此，只要我们能证明，对于所有的奇素数p ，费马方程
（1） xⁿ yⁿ-zⁿ=0

没有非寻常解即可。

若费马方程（1）有一个解 { x,y,z } 满足p \  xyz，

则2 ^p-1≡1( mod p ²)。

这个要求甚严，熟知按照费马小定理，我们只能得到则2 ^p-1≡1( mod p)。

热尔曼证明了下面的定理：

定理1. 若p为奇素数，且2p 1=q 亦为素数，则费马方程（1）没有适合≠ \  xyz 的解。

证. 假设定理不真，即存在这样的一个解{ x,y,z }  。我们可以假定x,y,z 的最大公因子(x，y，z=1) 。记
      （2）...............................................................-x ^p (x y)(z^p -z^p-1-z^p-2y ....  y ^p-1  )。

今往证明（2）之右端的两个因子互素。事实上，p \  xyz ，否则，由（2）可知p |x ，这与假设p \  xyz相矛盾。又若r(≠p) 为一个素数及r可以整除（2）之右端的两个因子，则得r | x 与，

y≡ -z (mod r )。

0≡(-y)^p-1-(-y)^p-2(y) .... (y)^p-1≡py^{p-1(mod r )}

后一个方程即r | py^p-1。由于r \ p，所以，r | y  。再由前一个方程得r | z ，因此，r | (x,y,z),即 r |1，矛盾。再由整数环z中唯一因子分解定理，可得

（3）..............................................................y z=a^p ，

（4）..............................................................z^p-1-z^p-2y .....y^p-1=t^p ，

其中a与t为互素的整数。类似地，有
        （5）.............................................................. x y=b^p ，
        （6）.............................................................. x z=c^p 。

由于p=q-1/2 ，所以，将（1）式mod q 即得。

若x ^q-1/2 y^q-1/2 z ^q-1/2 ≡0 ( mod q )，

由费马小定理知，x^q-1 ≡1(mod q)，从而x ^q-1/2≡ 1( mod q )，等等。所以，q |   xyz 时，上式左端每一项皆≡ 1(mod q) 。由于q>5 ，可知这是不能的。从而，q | xyz 。由对称性，我们不妨假定q | x 。由(3)，(5)，(6)可知

b^p c^p-a^p = 2x (y z)-(y z)=2x 。

所以，

（7） b^q-1/2 c^q-1/2-a^q-1/2 ≡0 (mod q)

同样，q |   abc  是不可能的，所以，q  | abc。由于q | x，不能得到q | bc。否则，例如q | b ，则由（5）可知q | y，再由（1）得q | z，即得(x,y,z) ≥q，矛盾。因此，

q | a,  q / b , q / c    。

由(3)可知，y=-z(mod q)

再由(4)知，t^p=py^p-1(mod q)

又由（5）可知 y≡ b^p(mod q)。

由于(a,t) =1，所以q  / t   ，因此，

t ^q-1/2≡pb^q-1/2xp-1(mod q)。

即  1≡ p (mod q)，

x^p y^p z^p = 0

 没有适合q  /  xyz  的解，这无疑是关于费马猜想的重要结果。我们似乎可以将此看作是哥德巴赫猜想（希尔伯特第八问题）比费马猜想更深刻的一个说明。