杨武之的父亲杨邦盛，是清末的一名秀才，早年一直在私塾教书。后来去天津，在段芝贵的幕府中司“笔札”，做类似文书之类的事。１９０７年，因段芝贵失势，回家赋闲。次年，想到沈阳去谋职，不幸在旅社中染上鼠疫，竟而去世。杨武之的母亲姓王，在他９岁时（１９０５）也早故。所以，杨邦盛夫妇对杨武之的照料不多，生活多由叔父杨邦瑞安排。
１９１４年，杨武之在安徽省立第二中学毕业。这是一所很好的学校，为杨武之打下了良好的文化基础。是年秋，考入北京高等师范学校预科，为期一年，后入数理部本科。规定修业３年，于１９１８年毕业。这一学历，在当时的师范教育中属于最高的层次，各地争相聘用。最后，杨武之决心回到母校——安徽省立二中担任教员兼舍监（训育主任）。年少气盛的杨武之，在学校里施行严格的纪律，对一批纨绔子弟严加管束。学校规定，夜晚１０时，关闭校门，使一批在外寻欢作乐而迟归的学生，不得其门而入。由此，一些不思上进的学生，对舍监杨武之大为不满，以至寻衅闹事，准备动武报复。闹事之后，因学生家长袒护闹事学生，希图不了了之。杨武之遂愤而辞职，转往安庆中学教书。这一事件对他刺激颇深，觉得一介书生，难以和腐败的政府及土豪劣绅相周旋。
杨武之因此萌生“科学救国”的意念，希望以出国留学，振兴中华科学，发扬中华文明来改变中国的黑暗现实。在安庆教书期间，积极准备参加留学考试。
杨武之由父母作主，在幼年时即和同乡罗竹全之女罗孟华订亲，并于１９１９年完婚。罗孟华的文化不高，一直操持家务。他们夫妇之间感情甚笃，终身不渝。１９２２年，长子杨振宁出生。杨武之的备考也到了紧张阶段。
１９２３年春，杨武之顺利地通过安徽省的公费出国留学考试。随即离别妻子和未满周岁的儿子，只身赴美国留学。他先到美国西部的斯坦福大学读了三个学季的大学课程，取得学士学位。然后于１９２４年秋天转往芝加哥大学继续攻读。当时的芝加哥大学数学系已臻美国第一流水平，杨武之师从名家ｌ．ｅ．迪克森（ｄｉｃｋｓｏｎ），研究代数学和数论。１９２６年以《双线性型的不变量》一文获得硕士学位。两年之后，又以《华林问题的各种推广》，使杨武之成为中国因数论研究而成为博士的第一人。
１９２８年秋，杨武之学成归国，先在厦门大学任教一年，次年即被清华大学聘为数学系教授。此后，杨武之一直在清华大学（包括抗战时期的西南联合大学）任教，直到解放。１９５０年之后，留在上海复旦大学任数学教授。１９７３年５月１２日，在上海逝世。
博士论文：推进“棱锥数的华林问题”
杨武之的主要学术贡献是数论研究，尤其以华林（ｗａｒｉｎｇ）问题的工作著称。
中国的数论研究渊远流长。孙子定理，中国剩余定理，秦九韶的不定方程理论，都是享誉世界的名篇。但到明清之际，数论研究已远远落后于欧洲，到本世纪２０年代，能研究现代的数论而发表创造性论文的中国人，当以杨武之为第一人。
所谓华林问题，是指下列猜想：每个正整数都是４个平方数之和，９个立方数之和，一般地，ｇ（ｋ）个ｋ次方数之和。
１７７０年，ｊ．－ｌ．拉格朗日（ｌａｇｒａｎｇｅ）证明了每个正整数确实是４个平方数之和，即ｇ（２）＝４。
１９０９年，大数学家ｄ．希尔伯特（ｈｉｌｂｅｒｔ）证明：ｇ（ｋ）必是有限数。
１９２８年，杨武之的导师狄克逊证得：ｇ（３）＝９。另外，ｓ．ｗ．贝尔（ｂａｅｒ）证明，凡大于２３×１０１４的整数是８个立方数之和。于是狄克逊要杨武之考虑带系数的华林问题，即每个正整数ｆ可否表示为ｆ＝ｒｘ３十ｃ７，其中ｃ７＝ｘ３１十ｘ３２十…十ｘ３７，ｒ＝０，１，２，…，８．杨武之很快得到下述结果：
１．凡是大于１４．１×４０１６的正整数都可表示为ｒｘ３十ｃ７，其中ｒ＝５，７。
２．凡大于（３０．１）×４１９６的正整数都可表示为３ｘ３十ｃ７。
３．凡大于２３×１０１４的正整数都可表为８×ｃ３十ｃ７。
４．凡大于２３×１０１４的奇正整数都可表示为ｒx３十ｃ７，其中ｒ＝２，４，６。
５．凡大于２３×１０１４的奇正整数的两倍，都可表为２ｘ３十７。
杨武之的博士论文还讨论了带系数的７次方数的表示等问题。
杨武之最好的工作是关于棱锥数的华林问题。棱锥数ｐ（ｎ）＝１／６（ｎ３－ｎ）是三角形数ｆ（ｎ）＝ｎ／２（ｎ十１）的推广。１６４０年，费马猜测每个正整数都是不超过３个三角形数之和。后来证明这是对的。至于每个正整数能表示为几个棱锥数之和，也陆续有人研究。
１８９６年，ｗ．ｊ．马耶（ｍａｉｌｌｅｔ）首先得到，每个充分大的正整数是１２个棱锥数之和。
１９２８年，杨武之在博士论文里证明：每个正整数都可写成９个棱锥数之和。此结果在２０余年内没有改进，直至ｇ．ｎ．沃森（ｗａｔｓｏｎ）在１９５２年将“９个”减为“８个”。到１９９１年为止，这仍是已证明了的最好结果。
电子计算机出现之后，许多人曾作过实际验算，认为除２４１个例外数之外，小于１０６的正整数都是５个棱锥数之和。１９９１年，杨振宁和邓越凡等人的计算表明，凡小于１０９的正整数，除了１７，２７，…，３４３８６７等２４１个例外数之外，都是４个棱锥数之和。他们猜想，除这２４１个数之外，表示任何正整数，只要４个棱锥数就够了。
杨武之的这篇博士论文，首先在美国数学会的会议上作了介绍（１９２８年４月６日）。同年美国数学会通报第３４卷，第４１２页上曾对此作了报道。以后全文发表于１９３１年的《清华理科报告》。
大学数学教育的先驱
杨武之一生从事数学教育，特别是在清华大学和西南联合大学执教并主持系务时期，培养和造就了两代数学人才，对中国现代数学的贡献很大。
１９２８年，清华留美预备学校改制为清华大学。郑之蕃、熊庆来先期来清华大学任教。１９２８年和１９２９年，孙光远与杨武之亦先后到校。这４位教授，加上唐培经、周鸿经两位教员，阵容极一时之盛。１９３０年，陈省身跟孙光远学几何。
次年，华罗庚又来校跟杨武之研习数论。随后的学生又有许宝騄、柯召等人的到来。３０年代的上半期，清华大学已成为国内最强的数学中心。
杨武之在清华大学讲授过很多代数课程，特别是３０年代初开设的群论课，影响了大批的后学者。
抗战以后，清华大学与北京大学、南开大学并为西南联合大学。杨武之又担任数学系的系主任，以及清华大学数学研究生部的主任。战时的生活十分艰苦，但是西南联合大学数学系的学术生活并不贫乏，科学水平节节上升，这和杨武之的组织与领导是分不开的。
杨武之与华罗庚
华罗庚自学成才，踏进清华园的传奇故事已是尽人皆知，但是究竟清华园内的数学圈内怎样发现华罗庚的细节，现在已很难查考。应该说，唐培经、杨武之，熊庆来等先生都为华罗庚来清华大学作出过努力，而系主任熊庆来的支持，则是关键的一着。
华罗庚来到清华大学以后，选择数论为研究方向，而且集中研究华林问题，显然是受到杨武之的直接影响。华罗庚在1980年写给香港《广角镜》周刊的一封信说：“引我走上数论道路的是杨武之教授。”
华罗庚于１９３６年赴英国，追随ｇ．ｈ．哈代（ｈａｒｄｙ）学习解析数论，成绩卓著。杨武之为自己的学生超过自己而高兴非凡。１９３８年华罗庚回国后到西南联合大学任教。当时担任系主任的杨武之，不顾学校里的各种反对意见，向校方提出破格提升华罗庚的职务，即越过讲师、副教授直升正教授。
起初校方以华罗庚未在英国拿博士学位而拒绝，后经杨武之力争，最终才得到同意。所以，华罗庚在上述给《广角镜》的信中也写道：“从英国回国，未经讲师、副教授，直接提我为正教授的又是杨武之教授。”
在西南联合大学时期，杨武之和华罗庚曾同住于昆明西北郊的大塘子村。两家过往很密。当年，华罗庚曾有一信给杨武之，内称：“古人云：生我者父母，知我者鲍叔。我之鲍叔即杨师也。”
杨武之所师法的迪克森学派，在本世纪初的美国影响很大。后来由于英国、苏联等国的解析数论的兴起而渐渐式微。所以，杨武之的数论研究虽曾起过启蒙和推动的作用，可惜由于迪克森学派的衰落而未能发挥重大影响。
中国数论学派，在华罗庚的领导下，获得了重大的发展。饮水思源，人们将会缅怀杨武之在早期所发挥的前驱作用。
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