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同时这样决定了，对你以后的成就也会有很大的影响。
我觉得最不好的就是你对数学有兴趣，却为了赚钱就跑到其他科目，其实你也不见得赚得到钱。这是讲你的决心要下得很大，不要三心二意，“让我念念看，假如不行的话再转”，很多人是这个样子，尤其是中国学生，进了大学再试试；看嘛，这儿不行就转转，最后搞得两边都不如愿，很多人是这个样子，为什么一定要这样?
这是决心的问题，一个很重要的决定，就是你进数学系时，你预计要做什么事情，对我自己来讲，我很早就下了决心我要念数学，所以从来没有想过要转其他的或是为了其他事情不念数学。
你决定了以后，你要懂得数学有很多不同门，就是分支，你在大学，对每一门分支的了解可能差得远。就是讲你很难在大学里就决定对数学里哪一门兴趣大一点。
其实兴趣和你懂得的学问是有关系的，因为你可能对某件东西有兴趣，不过你不晓得它时，你就不可能对它有兴趣。譬如你去爬山，你爬过了小山才看得到大山，你还没有看到后面的山以前，就不可能对后面的山有兴趣，所以所谓兴趣和你了解多少是一种非线性的关联。
这个兴趣和你当时的地理环境有关系，跟当时的时间也很有关系，就是和当时的时空关联很大。譬如来讲，因为你刚好在台湾，你旁边的教授若是单做那一行的，你对其他行就不见得晓得。就整个世界来讲，虽然你刚好走到某个地方，也许时间刚好不对，大部分数学家对这一方面兴趣不大，对其他问题兴趣大一点，并不表示其他问题就不重要。所以数学家对整个数学的了解，跟时空有关，兴趣也会跟这个有关。
我觉得一个年轻的学生，首先要开放心胸，就是讲你要晓得，你念的学科，有很多时候跟其他的学科关系很大，不要以为我念的这门学科跟其他的完全无关，其他的就不念了。例如很多学生，说对某些文学课有兴趣，凡跟这门文学没，有关系的，就不再想去念它。比如讲我对泛函分析有兴趣，跟泛函分析关系不大的，就算有一点关系我也不想去看，这是一个错误的观念。其实泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理论有关。大学是一个通才教育，就算你单对代数有兴趣，除了代数要懂以外，对微积分也要懂，其实微积分对代数也有很大的影响。所以基本上大学所能提供的课程，我觉得你们年轻人都应该去学，不单要学，而且要尽量学好。
基础打好，对研究帮助很大
很难想像有什么大学课程在研究院是不重要的，你在大学里念的每一门课，和以后研究都有很大的关系，我想关系是绝对有的，就算在研究院里一两年的课，我想对你以后的研究也是有很大的好处的，所以应该尽量将基础打好。其实到你真的做研究时，你会发现你需要很多工具，很不幸，很多东西你在念大学、念研究院时没有好好地念好。到了念博士那个时候，你常常要赶写论文什么的，你发现工具已不够，要花很多时间去念，工具不够又不想去念，你就很麻烦。毕业拿个博士以后，你又有很多不同的其他压力，台湾比较少，至少在美国是很大的，你要尽量发表文章，一下子没有那么多时间将那门工具重新再念过。一所以念大学跟研究院那两年的时候，要尽量将所有基本工具全部念懂，我想这是很有必要的。
譬如来讲，我很多朋友是代数几何做得很好，可是需要用到分析做工具时，他们就觉得很怕，反过来讲，分析念得很好，可是需要代数时就很怕。不过我觉得一个好的数学家，至少要懂得两门以上的数学分支。当题目来的时候不会恐惧，才能很活跃地做一个好研究。
一门学科你要念到什么地步?你自己要晓得。就是讲你遇到一个研究课题的时候，你虽然不见得能够解决掉，至少你要晓得你可以坐下来对这个问题一产生一些想法，同时可以找这方面的文献，将它基本的术语弄懂。晓得怎么去攻进这个问题，然后开始解这个问题。这个问题不一定能够解决，不过至少你不觉得不着边际，晓得怎么去对付这个问题。要做到这个地步，其实是要懂很多东西，要经过相当久的训练才能够达到这个地步。
因为我们能力有限，一个人不可能每门都懂，不是我们不想，可是当一个题目来的时候，我们往往会产生很多不同的相关问题，这个题目并不见得正好是我们熟悉的领域，我们希望能够找文献或至少找个适当的做研究的人，问他们一碰到这个问题时要怎么对付。
所以你们在大学或研究院要懂得怎么发问，这是个很重要的基本功训练。一发问的训练，从小的方面来讲就是问老师或同学，从大的来讲，就是自己做一些比较起来还没有人问过的问题。一个好的数学家跟差的数学家，往往决定于你一问的问题有没有意思，是不是重要的问题。你要做到后来成为一个专家的时候，才晓得你问的问题有没有意思。
不过对你们年轻人来讲，问一些你自己认为有意思的问题是一个很好的训练，你问的问题可能是专家们熟知的或是人家已经解决了的，其实也没有什么关系，问问题是一个很重要的训练，并不容易，不过你要尽量在这方面自己训练自己。
我想你们大学念到一年级、二年级时，应当通过跟同学讨论来训练自我，也要通过向老师问问题来训练自己。
我不晓得你们清华的同学间，彼此讨论的情况怎么样?我觉得这很重要的。无论是懂的问不懂的人来讲，或是不懂的问懂的人，这两方面都有很大的好处。
你自己不懂的问题去问很懂的人，当然对你自己有好处。反过来讲，你自己很懂跟不懂的人解释自己懂的东西，也是一个很好的训练。因为往往我们认为很懂的东西，在向别人解释时，才发现自己其实不懂。向对方解释数学命题时(一般来讲，你大学读到的是比较已知的命题)，往往会发现本来以为对的解释原来是错的。所以无论是你自己觉得自己学问不大好的，或是自己学问做得很好的，我觉得互相讨论对双方都有好处。
高年级同学比较知道，在看课外书或是参考书时，前面的第一章，觉得很容易，第二章也很容易，到第三章可能模糊，到第四章时好像很形式化，并不懂什么意思。为什么会产生这种现象呢?这很简单，因为第一章比较浅一点，你是真的看懂了，第二章其实你不懂，你就跳过去了。这个证明没看懂，但自以为，大概这样就对了。越看越多时，前面知识越累积向后面，错就越来越多，到了最后时，根本就没办法控制。
假如你看一本书时，你对一个人讲，甚至对一个黑板讲也可以。对其他同学讲，不单有意思，而且同学往往会问你些问题，让你晓得你什么地方是没有搞清楚的，经过整个过程以后，你会晓得什么地方你懂，什么地方你不懂。所以我们往往鼓励学生一定要教书。
我们做研究的人也一样，一定要教书，不能够单单做研究就算了，不用教书。教书的好处跟刚才讲的一样，你在讲自己的研究的时候，或者在讲一个命题时，你往往一路讲一路发觉自己有什么不足的地方。你不讲自己的研究，你发觉你好像很模糊搞不清楚；当你向别人讲时，一点一滴讲出来，你就晓得自己在哪方面不足，中间的联系，并不是你想像的那么完善。常常因为我们发觉研究不够完善，所以我们还要继续向前做研究。假如研究都是充足的话就可以告一段落了。
所以同学跟同学间，同学跟老师间的讨论，我想都是很重要的。
任何一门科学，包括数学，都不能说已经发展得很完善了，在每一个层次上我们都可以问一些很重要的问题。基本上数学里即使很简单的学问，你也可以问出很重要的问题，这些问题你并不一定能够解决，你可以跟老师或者跟同学讨论。
不过你在问问题时，可以将自己的整个思想、思考搞清楚，这是一个很重要的训练，我很鼓励你们尽量去问一些问题。
我觉得很得意的，就是我从很早的时候，就常问一些数学问题。我在中学时开始问一些问题，自己看有没有办法解决。
其中有一个问题，我考虑了一年：给一个三角形多少数据，就可以完全决定一个三角形呢?普通给定三个数据，例如一条边两个角(asa)或三条边(sss)，都可以决定三角形，假如给的是三个分角线的长又如何呢?三角形的数据一般有边长、角度、分角线长、中垂线长等等，随便抽三个出来是否就能决定一个三角形?
你试试看，大部分的都能解，只有一两个不能解。我中学的时候研究过这个问题，考虑了一年多，最后发现这个问题并不简单。我小时候坐火车，在火车上都在想，最后看了一本参考书才知道能不能解，不过整个过程对我的思考帮助很大。
从前是二年级的时候开始念平面几何，我在三年级的时候开始想这个问题，还有很多比这个问题更复杂的问题，所以在最简单最平凡的问题中你可以找到很多有意思的问题问自己。
问题并不少，在自然界里或数学中问题多得不得了，问题是自己去找或如何去找。这个要自己训练，方法很多，要自己努力，同时要跟别人多来往。训练要花很多工夫，就是问，从早到晚你究竟花了多少工夫在那里?你要动脑筋，不是随便讲两句就行了。
做学问用功很重要
我从前有一个博士生，资质不错，想法也不错，我跟他说你一天,最少要花六个钟点在数学上面想论文，他说不行，后来他也没有再做下去了。我不晓得你们能不能坐六个小时想数学，或看数学?做学问全神贯注很重要，假如你觉得不能全身心投入的话，你干脆不要念数学算了。
从前我大学毕业后，我一天最少有十个多钟头在想数学，你并不一定要这样子，不过你至少要花一定工夫的钻研才能做一个好的数学家。你愿意花很多工夫以后我想你一定会有收获。
当然，一个好数学家，除了用功之外，也要有一些运气在里面，聪明很有影响，你们能考上清华，聪明应该不会差太远，真正重要的，还是全神贯注的能力。
从前，我们在中国香港长大，很想看参考书，但又贵又不容易找到。你们现在在清华，我想，你们要找什么都找得到，要找些比较好的研究员来跟你们讲东西，现在也容易多了，所以我想主要是你们能不能够做，最好不要找借口。
在国外很多大的学校，学生很多，不大容易找到好的老师，研究的机会可能也比这边少得多，我读大学时的经验就是这样，主要是你肯用功。
做学问是靠自己，做研究也靠自己。一般来讲，你到一个学校，刚好跟你做同一行的很少很少，顶多两三个而已。基本上是靠自己。在台湾参考书都有了，不一定要靠别人，要有发动自己的能力，自己肯问问题，单靠自己应该不会差太远的。
所以你一旦做决定后，你要享受做数学的乐趣，好比下棋，假若对下棋没有兴趣，被逼去下棋就很痛苦，可是你对下棋有兴趣的话，你越下越有意思，下到困难的地方更有意思，做数学也是一样，碰到困难的问题更有意思，所以一定要建立兴趣。
兴趣是要培养的。如果你问一个小学生：“你对微积分有没有兴趣?”你当然可以讲他对微积分没有兴趣，因为他根本不懂微积分。
同样的意思，如果我问你对微分几何有多大的兴趣，在你还没有开始做之前，你当然不晓得，因为你根本不懂微分几何。这其实是很空洞的问题，不能讲我现在有兴趣，或我现在没兴趣。不过到你真的做进去以后，你才发现你对它有很大的兴趣。
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