数学在19到20世纪有很大的发展，一般来讲，它是有连续性的，有一个主要的主题，然后由这个主题向各方面推展，有基础方面的澄清，有向各方面的应用。
最近，数学和理论物理的关系、数论方面的重大发展、计算机的引进在数学上引出了新问题，等等，对老问题有很多帮助。种种迹象表明，数学是有很强活力的，所以21世纪有很多事情要留给大家做。
近些年来，中国的数学有很大进展，怎样根据这个进展，再向前推一步呢？20世纪20年代法国有很伟大的数学家，如皮卡、阿达马、蒙泰尔，那时他们都老了，他们的工作方向都是复变函数论，与近代数学，像抽象代数、拓扑都失掉了联络。那时候法国一些年轻的数学家觉得不一定要跟这些老先生学，决心自己念书，自己发展。这就是后来出现的有名的布尔巴基学派，他们在数学的发展史上起了很大作用。
在此，我还想讲个故事：有些人可能会想，数学家们一天到晚没有事情可做，无中生有，搞这些多面体有什么意思?我认为，现在化学里的钛化合物就跟正多面体有关系。这就是说，经过2000年之后，正多面体居然会在化学里有用，有些数学家正在研究正多面体和分子结构间的关系。我们现在知道，生物学上的病毒也具有正多面体的形状。这表明，当年数学家的一种“空想”，经历了这么长的时间之后，竟然是很“实用”的。
不做主流也无妨
现在谈谈主流数学与非主流数学的问题。大家知道，数学有很多特点。比如做数学不需要很多设备，现在有电子邮件，要的资料很容易拿到。做数学是个人的学问，不像别的学科必须依赖于设备，大家争分夺秒在一些最主要的方向上工作，在主流方向做出你自己的贡献。而数学则不同。由于数学的方向很多，又是个人的学问，不一定大家都集中做主流数学。1943年，我在西南联大教书，那年我应邀从昆明到普林斯顿高级研究所，该所靠近普林斯顿有一个小城叫新不伦瑞克，是新泽西州立大学所在地。我到普林斯顿不久，就在新不伦瑞克参加美国数学会的暑期年会。由于近，我也去听听演讲，会会朋友。有一次我和一位在美国非常有地位的数学家聊天，他问我做什么，我说微分几何，他立刻说“it
is dead(它已死了)”。这是1943年的事，但战后的情形是微分几何成了主流数学。
因此，我觉得做数学的人，有可能找到现在并非主流、但很有意义、将来很有希望的方向。主流方向上集中了世界上许多优秀人物，投入了大量的经费，你抢不过他们，赶不上，不如做其他同样很有意义的工作。我希望中国数学在某些方面能够生根，搞得特别好，具有自己的特色。这在历史上也有先例。例如第二次世界大战以前波兰就搞逻辑、点集拓扑。他们根据一些简单公设推出许多结论，成就不小。另外如芬兰，在复变函数论上取得成功，一直到现在。例如在拟共形映照上的推广一直在世界上领先。因为他们做的工作，别的国家不做，他们就拥有该领域内世界上最强的人物，我还可以举出更多的例子。
中国数学的根必须在中国，现在我讲21世纪的数学，也就是要讲中国的数学该怎么发展，如何使中国数学在21世纪占有若干方面的优势。办法说来很简单，就是要培养人才，找有能力的人来做数学，找到优秀的年轻人在数学上获得发展。具体一些讲，就是要在国内办够世界水平的第一流的数学研究院。中国这么大，不仅北京要有，别的地方也应该办。
中国科学的根子必须在中国。中国科学技术在本土上生根，然后才能长上去。可是要请有能力的人来做数学很不容易。我从1984年开始组建南开数学所。开始想请有能力的人来工作就是了。可是由于种种原因，很难做到这一点。我们办第一流的研究所就是要有第一流的数学家。有了第一流的数学家，房子破一点，设备差一点，书也找不到，研究所仍是第一流。不然的话，房子造得很漂亮，书很多，也有很贵的计算机，如果没有人来做第一流的工作，又有什么用处?
我看到这种情形，就改变想法，努力训练自己的年轻人，培养自己的数学家，送他们出国学习，到世界各地，请最好的数学家给予指导。我很高兴地告诉大家，这些措施已经开始出现成效。比方说贺正需，他到美国加州大学圣地亚哥分校跟弗里德曼学。弗里德曼得过费尔茨奖，是年轻的领袖人物。他亲自对我说，贺正需是他最好的学生。我还可以提到一些人，这里不一一列举了。
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