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贾宪三角比帕斯卡三角要早600年！

贾宪，北宋人，他大约在1050年左右完成了《黄帝九章算经细草》一书，原书已遗失，但其中一个很重要的内容，关于求解“二项式展开系数表”的“贾宪三角”被杨辉抄录在他的《详解九章算法》著作中，因而这个知识才能流传下来。曾有人把它称为“杨辉三角”，但是杨辉在他的书中已经很明确地说明了此图是“出释锁算书，贾宪用此术”，所以人们才改称它为“贾宪三角”了。      

根据杨辉的摘录，贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源”的图为基础，现被称作“贾宪三角”。

贾宪的“开方作法本源图”见右图采自《永乐大典》，它是什么意思呢？它实际上是一张二项系数表，即（x a）ⁿ（n =0,1,2,…,n）展开的各项系数。贾宪将左右斜线上的数字1分别称为“积数”和“隅算”，将这两行斜线数字中藏的数字称为“廉”，开几次方，就用相应行的廉；第三行为“二”是开平方的廉，第四行是开三次方的廉，第五行是开四次方的廉，等。“积”、“隅”、“廉”都是沿用中国古代开方术语。

为了理解贾宪的增乘开方法，我们首先来看一看他是怎样获得“开方作法本源”图中的各廉数的。他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各数的方法相当于如下程序：
1 1 5 = 6 第一位(上廉)
1 1 4 = 5 5 10 = 15 第二位(二廉)
1 1 3 = 4 4 6 = 10 10 10 = 20 第三位(三廉)
1 1 2 = 3 3 3 = 6 6 4 = 10 10 5 = 15 第四位(四廉)
1 1 1 = 2 2 1 = 3 3 1 = 4 4 1 = 5 5 1 = 6 第五位(下廉)
1 1 1 1 1 1 隅算     

就是说将隅算1自下而上增入前位,直到首位为止,就得第一位数字(上廉)；求其他各位数字，自下而上重复刚才的程序,每次低一位为止。这是一种随乘随加的过程,所以叫“增乘法”。贾宪发现,这种增乘法不仅可以用来求“开方作法本源”图中的各廉，而且可以被推广用来直接开方，这就是增乘开方法。

贾宪不仅给出了这个图，还给出了这个图的简捷制作规律。从第三行(（即2次幂）开始，两端最边上的数字都是1，而中间的任何一个数字都是这个数在上一行相邻两数的和。以第6行为例，所有中间的数字都可以如此求得，请看上面的示意图： 用这样的方法可以求出任意次幂的系数，直至无穷大。 

在贾宪之前，只能开平方与开立方，自从贾宪发明此表与“增乘开方法”后，就首次开辟了求解高次方程的真正通途。

在贾宪之后，我国数学家又进一步探索了系数中有负整数的方程解法，最终由南宋秦九韶发明的“正负开方法”彻底解决了这个问题，除了杨辉的书有这个贾宪三角形，另外一本元朝朱世杰1303年写的《四元玉鉴》，书中也有这个贾宪三角的图，并且计算到了二项式的八次方。

  西方人把这种二项式展开系数的规律表称之为“帕斯卡三角形”。比英国数学家霍纳1819年求得这一解法（西方称为“霍纳法”）要早五百多年。因此这个三角形应当是叫“贾宪三角”是当之无愧的。