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刘徽所写的《九章算术注》在数学史有很高价值的工作
《九章算术》大约成书在东汉之初，共有246个问题的解法。书中主要包含了解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等内容，处于世界领先的地位。但是由于一些解法比较原始，而且对用到的定理没有给出必要的证明，因此刘徽才写了《九章算术注》，对《九章算术》使用的数学概念加以说明，对公式、定理一一作了补充证明；并对解题过程进行分析，提出了很多独创的见解。 《九章算术注》充分显示了刘徽具有多方面的知识和创造性，也反映其严谨的逻辑思维和深刻的数学思想。因此刘徽的《九章算术注》是一项非常重要的工作，为中国古代数学奠定了坚实的理论基础。刘微在数学上有许多杰出的创造。他精辟地研究了开方不尽数，用首创的十进分数（小数的前身）来刻画它们，向着无理数的认识迈出了重要的一步。
刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。
刘徽的“割圆术”的方法
我们知道，秦之前，人们使用的古率是3，
在《九章算术》中用的圆周率是3，从西汉末年开始，新率才
陆续出现，但仍然是很不精确，并且没有推算方法。直到三国时期，刘徽提出了用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长的思想。他是中国数学史上第一位用科学的方法
来推算圆周率的数学家。
刘徽割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，就是说分割越细，误差就越小，无限细分就能逐步接近圆周率的实际值。他很清楚圆内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确这一点。
刘徽用割圆的方法，从圆内接正六边形开始算起，将边数一倍一倍地增加，即12、24、48、96…，因而逐个算出六边形、十二边形、二十四边形……的边长，这些数值逐步地逼近圆周率。他做圆内接96边形时，求出的圆周率是3.14，这个结果已经比古率精确多了。他算到了圆内接正3072边形，得到圆周率的近似值为3.1416。刘徽首次用理论的方法算得
圆周率为157/50和3927/1250。
刘徽首创“割圆术”的方法，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表，不仅为200年后祖冲之的圆周率计算提供了思想方法与理论依据，也对中国古代的数学研究产生了很大的影响。
刘徽对面积与体积的研究
像阿基米德一样，刘徽集中精力研究了面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果。
刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，就是“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。
刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。为了求得由底为直角三角形的直棱柱分割而成的一个四棱锥与一个三棱锥的体积之比，他采用无限分割、逐次拼合的方法建立了“刘徽原理”。在研究各种体积问题时，他又创造性地运用两立体图形相应截面面积之间的关系确定它们体积之间的关系，200多年后被祖冲之的儿子概括为著名的“刘祖原理”。
在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。关于球体积的计算， 刘徽首先指出了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，
并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。
刘徽取得了广泛而又深入的研究成果
刘徽的《九章算术注》在世界数学史上也占有重要的地位，现在它已经成为世界科学名著，被译成多种文字出版。刘徽的《九章算术注》的最主要的贡献是创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，开创了圆周率研究的新阶段。他得到π的近似值是3927/1253（即3.1416），这个数据的精确度在当时是比较高的，可以说世界领先的。此外，刘徽在给《九章算术》作注中，还运用了“齐同术”、“今有术”、“图验法”、“棋验法”等各种计算方法。
刘徽《九章算术注》还有其他许多数学成果，特别是他在《九章算术》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为《九章算术注》第十卷，后来单独刊行，称为《海岛算经》。刘徽在书中精心选编了九个测量问题，这些题目具有的创造性和复杂性都是为当时的西方所瞩目的。《海岛算经》对勾股理论做出了重要推进，发展了古代天文学中的“重差术”，为传统的二次测量方法——重差述重建理论基础，并将其发展为三次、四次测量，成为勾股测量学的典籍。
此外，他对《九章算术》中的分数理论、比率理论、方程理论都做出了重要推进。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是刻苦钻研数学，探求真理的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
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