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1 图论
惠特尼一生对四色问题感兴趣，他最早和最后的数学论文都是关于四色问题的。他给出四色问题的等价命题并研究可约性问题。从四色问题出发他研究一般图论，特别是得出两图同胚的条件。他定义图的连通度，并给出n重连通的充分必要条件。他还定义图g的对偶g＇，证明图g可嵌入平面的充分必要条件是g具有对偶图g＇，从而给著名的库拉托夫斯基不可嵌入平面图的定理一个直接的组合证明。
惠特尼
的博士论文是关于图的着色问题，其中证明m(λ)的公式并进行计算，这里m(λ)是用λ种颜色给一图不同着色方法数，他引进一组数mij，它们不仅可用来计算m(λ)，还可定义图g的拓扑不变量；其中r为图g的秩，n为g的零度。他利用这些不变量研究图的分类问题。
惠特尼在组合论方面的最大成就是他引进拟阵理论，这是一种抽象的线性相关性理论，它不仅包含图论为其特例，而且还包括网络理论、综合几何以及横截理论等。
2 可微映射和奇点理论
（1）可微函数的解析延拓
惠特尼对拓扑学的主要贡献是建立微分拓扑学，为此，必须将拓扑学考虑的连续映射推广到可微情形。惠特尼在他早期工作中(1932—1942)就为此奠定基础。
1925年苏联数学家乌雷松证明，如a是n维欧氏空间e中的闭集(有界或无界)，f(x)为a中定义的连续函数，则f可延拓成为整个e上的连续函数f。惠特尼在1932年证明，存在f不仅连续，而且在e—a上可微，甚至解析；如果f(x)在a中属于cm，则在a中f与f相等，且f的到m阶的各阶导数与f的各阶导数对应相等。其后他又考虑a为任意子集合的情形。他还研究泰勒展开的余项的可微性问题，这些对研究奇点理论很重要。
（2）奇点理论
奇点理论是惠特尼最重要的创造之一，它来源于微分嵌入及浸入问题，奇点是临界点的推广。
1942年他首先研究n维欧几里得空间en到e2n-1的微分映射f的奇点。1955年，他首先对于平面e2到e的奇点类型进行分类；结果只有两类，一类是折点(fold)，另一类是尖点(cusp)。
通过这篇论文，开创了奇点理论。这个基本的奇点分类问题连同其他问题形成了奇点理论的热门。同年托姆运用自己的横截理论以及普遍开折理论首先取得突破，这项研究成为后来他的突变理论的基础。其后1968—1971年麦泽(mather)建立稳定性理论及决定性理论，1967年起以苏联数学家阿诺尔德为首的苏联学派在理论及应用方面取得辉煌的成就。
1948年惠特尼还发表了“论可微函数的理想”，这开辟了奇点理论另一个新方向。后来马格朗日等人在这方面取得了很大突破。
（3）分层理论
分层理论是惠特尼最后创造的理论，从某种意义上说，也是奇点理论的自然延续。通常研究的欧氏空间及流形均有很好的齐性结构（局部具有相同的结构），但这点即使对代数簇也不满足，特别是由解析几何延续下来的实代数簇一般存在奇点。从1957年到1965年惠特尼研究实代数簇的拓扑学，并讨论把簇分解为流形，1957年引进惠特尼层化的概念，并且对代数簇及解析簇进行层化分解，这概念后来被托姆发展成分层集理论，在奇点的局部及大范围研究中起重要作用。1965年武雅谢维茨证明任何半解析集均有惠特尼分层。1965年惠特尼对解析簇定义了切向量、切平面族及切锥的概念，并考虑剖分时切集的协调问题。
3 微分流形的拓扑学
虽然庞加莱甚至黎曼已研究微分流形的拓扑学，但是由于工具不足，真正创立微分流形的拓扑学
的。在这篇论文中，他证明了一些最基本的定理，特别是嵌入及浸入定理：任何n维微分流形均可微分嵌入在r2n 1(2n 1维欧氏空间)中，均可微分浸入在r2n中。1944年他又改进为n维微分流形可嵌入于r2n中，可浸入于r2n-1中。对于某些流形，这些结果已臻至善。这个工作开拓了微分流形的一个重要领域，其后，吴文俊等许多拓扑学家做出了贡献。
4 纤维丛及示性类
惠特尼在1935年首次定义真正的“纤维空间”，当时他称为“球空间”，1940年他改称为“球丛”，在1937年及1941年他对此作两个报告，包括许多根本的结果，他还打算对此写一本书，始终没有完成。他的兴趣一直集中于“示性类”上。他于1936年和瑞士数学家施蒂费尔在1935年独立地定义这种示性类，后来称为施蒂费尔-惠特尼示性类。他的目的是用示性类来研究微分流形的拓扑学。对此，纤维丛只是一个工具，所以他的定义并非每一细节都讲得很清楚，但是他的定义是很一般的。1940—1950年间，纤维丛成为研究许多拓扑问题(特别是同伦、同调及微分几何问题)的主要工具。1949／1950年度的嘉当讨论班以纤维丛为专题进行系统讨论，1951年斯廷洛德的专著《纤维丛的拓扑学》的出版，标志着纤维丛理论的成熟，其中惠特尼做出突出贡献。
惠特尼主要研究纤维丛的分类问题和有关示性类等问题。施蒂费尔只考虑微分流形的切丛的示性类，而惠特尼考虑的要广得多，他考虑任意球丛(e，b，p)的底空间b也可以是任意局部有限的单纯复合形。惠特尼还给出示性类的形式幂级数以及偶示性类的概念。至此，施蒂费尔-惠特尼示性类的理论基础正式建立。其后，米尔诺(milnor)以惠特尼提出的四个定理为公理开展示性类理论，而且其他的示性类特别是庞特里亚金示性类及陈省身示性类也是依据施蒂费尔-惠特尼示性类的模式定义及研究的。
示性类在拓扑学及几何学巾起着极为重要的作用，惠特尼本人主要应用示性类来研究浸入问题。例如，他证明8维实射影空间p8(r)不能浸入到r14中，但能浸入在r15中，他的理论后来为吴文俊等所发展。
5 代数拓扑学
1935年是代数拓扑学的转折点，其主要标志是上同调理论与同伦理论的建立。在庞加莱引入同调概念40年后，四位数学家几乎同时独立地引入上同调概念，他们是亚历山大、惠特尼、切赫、柯尔莫哥洛夫。当其他三位在1935年莫斯科会议宣布结果时，惠特尼的结果已经发表，上同调类由于有上积，从而有环结构，比同调包含更多的拓扑信息。
惠特尼在1936年给出过2维复形到2维或3维射影空间的映射同伦的代数条件，但未发表。1941年，罗宾斯推广到2维复形到任何空间的映射的同伦分类，后来奥兰姆又大规模地予以简化及推广。对3维复形，庞特里亚金在1941年考虑它到s2的映射同伦分类，其中首先应用新出现的上积。其实惠特尼早在1936年已得出相应结果。
1948年，惠特尼研究单连通空间r的第二及第三同伦群的关系，并据此给出3维复形k到r中两个连续映射同伦的充分必要条件以及映射扩张的阻碍类。还应该指出，1938年惠特尼引进阿贝尔群的张量积概念，这对代数拓扑学及同调代数是必不可少的工具。
6 几何积分论
1946—1957年间，惠特尼建立几何积分论。它是更一般的积分理论，例如n维空间中的r维积分。借此，他给上链、上闭链等一个解析的解释，例如几何上链是处于“一般位置”的奇异链上的函数。这样，他把嘉当及德·拉姆的外微分形式理论中的可微条件换成李普希茨条件得出的积分理论等价于代数上同调理论，对于更一般的李普希茨空间也成立，它包括多面体及绝对邻域收缩核为其特例，特别是把斯托克斯定理推广到李普希茨空间上，他的理论总结在《几何积分论》(1957)一书中。
胡作玄
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