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自然界的众多形状都是如此的不规则和支离破碎。对这些形状的认识，欧几里得并未能给后人留下更多的启示，传统的欧氏几何在它们面前显得那样的苍白无力、对大自然的这种挑战，二千年来，激励着一代又一代的数学家上下求索，探寻从欧氏几何体系中解放出来的道路。终于在1975年，芒德勃罗发表了被视为分形几何创立标志的专著《分形：形、机遇和维数》。从此，一门崭新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林。
经过近二、三十年的开拓和发展，分形研究现已深入到各个科学技术领域，在哲学、数学、物理学、材料科学、计算机科学、地学、医学等众多领域，甚至在电影、美术和书法等艺术领域都得到了广泛的应用，对现代科学产生了至为深远的影响，所以美国著名物理学家惠勒说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”
一般是分数（也可以是整数）。显见，分形几何给学生带来的是一种全新的几何观念．让他们学习分形几何初步知识，帮助他们实现从欧氏几何领域向分形几何领域的认知的初步跨越。由于分形是一类无特征尺度的几何形体，所以无法用通常的度量：长度或重量或体积等参数去刻划其特征，而只能用分数维作为其复杂程度的定量表征，这是和学生已形成的传统维数观念相悖的：在欧氏几何里，点是0维的，线段是1维的，正方形是2维的，正方体是3维的；而分形的维数却一般是分数：三分康托尔集、三元科赫曲线、门杰海绵的维数分别是0.6309、1.2618、2.7268．这种维数是新颖的，将对学生固有的维数观念产生强劲的冲击。分形几何学可以用于表述大自然创造的复杂的真实物体，例如下面的例子。
（1）一些经典分形图：康托尔三分集、科赫雪花曲线、谢尔宾斯基垫片、“有皮没有肉”的门杰海绵、恶魔的阶梯等；
（2）科赫雪花曲线的字符串替换算法作图；
（3）特征长度，分形的自相似性的认识；
（4）海岸线的测量问题，海岸线与科赫曲线的本质联系；
（5）皮亚诺曲线与分数维的初步知识；
（6）“病态”怪物画廊。
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