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数学技术之模型篇（1）

1.？数学和数学模型

数学是研究现实世界中不涉及具体物性的数与形、结构的模式和体系的科学，在它产生和发展的过程中，一直是和各种各样的应用问题紧密相联的；数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而最重要的是它应用的广泛性。
自20世纪四十年代以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个数字信息时代、知识经济时代，数学科学的地位发生了巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，已经成为一种能够普遍实施的技术。高技术实质上变为一种数学技术。
所谓数学技术，是指把现实问题转化成一个相应的数学模型，并用计算机加以解决或用数学理论定性、定量地加以研究，得出现实问题的定量结论或重要性质。数学应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向生物、医学、环境、地质、经济、管理、金融、人口、交通等诸多新领域渗透，所以数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
当人们需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，这就是数学模型（mathematical model）。
数学模型是对实际问题的一种数学表述；具体一点说，数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象、简化的数学结构；更确切地一点说，数学模型就是对于一个特定的对象，为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示和计算机软件等。

数学模型是数学抽象的概括性的产物，其原型可以是具体的事物、研讨的对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释。广义地说，数学概念，如数、集合、向量、方程都可称为数学模型；狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方能称为数学模型。

数学模型是对现实世界中某一类特殊的运动变化过程、关系的一种抽象性、模拟性的数学结构，是现实模型理想化的一种科学的抽象过程。建立数学模型的过程，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。通过调查研究，收集数据资料，观察和分析实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学理论和计算机上的数学方法去计算、分折和解决。这需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识。数学模型是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化为生产力的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的广泛重视，建模已成为现代科技工作者必备的重要能力之—。
不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学模型和计算机技术在知识经济时代的作用愈来愈重要，如虎添翼，甚至能起到关键的、决定性的作用。

2.？数学模型的特点

众所周知，数学模型是利用数学工具解决实际问题的一种重要手段，有许多优点，但也有不少不尽人意的地方。建模需要相当深厚的知识、丰富的经验和诸多方面的技能，同时还应能掌握分寸和一定的变通能力，采取多方面的折衷和选择。下面归纳出数学模型的若干特点，以期在建模实践过程中逐步加深领会与融汇贯通，从学会建模到善于建模。

模型的逼真性和可行性 ？一般说来总是希望研制出的数学模型尽可能逼近研究的对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行，缺乏可用性。另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出适当折衷和舍选。

模型的渐进性？ 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过建模过程的反复和多次迭代。这里既包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的可用模型。

模型的健壮性 ？模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据等确定的，而观测数据是有误差的。一个好的模型应具有健壮性：当观测数据(或其他相关信息)有微小变动时，模型结构和参数只能相应有些微小变化，并导致模型求解的结果也只能有相应的微小变化。

模型的条理性？ 从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因虽尚未达到实用的程度，但对问题的研究既有补充又有效益。

模型的技艺性？ 建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。有人说。建模与其说是一门技术、不如说是一种艺术，具有很强的技艺性及技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。

模型的非预制性？ 虽然已经发展了许多应用广泛的数学模型，但是实际问题是各种各样、千变万化的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题，在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或概念的产生。

模型的可转移性？ 模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的应用广泛性。

模型的局限性？ 这有几方面的含义：① 由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的；② 由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型，如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程；③ 还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程、人脑的思维过程等。

建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象做出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜测、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的、带启发性的直觉和灵感，去战略性地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处。历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律。当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法娴熟运用。

建模可看成一门艺术。艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的。一位出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践。类似地，掌握建模这门艺术培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真多做几个实际项目以积累知识和经验。

？3.？数学模型的分类

利用数学方法解决实际问题时，首先要把实际事物之间的联系抽象为数学形式，就是所谓建立数学模型。对建成的数学模型，可以根据不同的标准和需要进行分类，以便研究和应用。下面给出一些根据不同领域、标准和方法对模型进行分类。
按模型应用的技术领域分类，有工业数学模型，农业数学模型，气象数学模型，海洋数学模型和经济数学模型等。
按模型应用的学科领域分类，有生物数学模型，医学数学模型，地质数学模型，数量经济数学模型等。
按建立模型的数学方法分类，有代数模型、几何模型，微分方程模型，图论模型，规划模型，随机过程模型等。
按是否考虑模型的时态变化分类，有静态模型和动态模型。
按应用离散方法或连续方法分类，有离散模型和连续模型。
按是否考虑随机因素分类，有确定性数学模型和随机性数学模型。

按模型中参数的性质分类，有参数与非参数模型。

按模型中变量间的关系分类，有线性和非线性模型。

按人们对事物发展过程的认识和了解的程度分类，有白箱模型，灰箱模型和黑箱模型：
白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型，如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题的数学模型；
灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面还在不同程度上有许多工作要做的问题，如气象学、生态学、经济学等领域的数学模型；
黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象，如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
显然，对不同类型的问题，根据要求，需要构造不同类型的模型。对同一个问题，还可构造多个不同的模型，经过分析、对比和取舍及计算机上的模拟计算试验，才能找到真正可用和满足要求的数学模型。